Video giải bài tập Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 1: Hai đường thẳng d: y = – x – 2 và d’: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành bốn miền khác nhau (không tính hai đường thẳng d và d’) như hình vẽ bên. Để kí hiệu một trong bốn miền đó, người ta đã tạo nhãn:

Hãy đặt nhãn này vào miền phù hợp.

Lời giải:

Với trường hợp y < -x – 2 nghĩa là ta có bất phương trình x + y + 2 < 0. Miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không chứa điểm O(0;0) hay nhãn y < -x- 2 được dán ở miền màu vàng và màu xanh

Với trường hợp y < x + 1 nghĩa là ta có bất phương trình –x + y – 1 < 0.

Miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d’ và chứa điểm O hay nhãn y < x + 1 được dán ở miền màu tím và màu xanh.

Ta có hình vẽ sau:

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khám phá 1 trang 33 Toán lớp 10 Tập 1: Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng cà chua. Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

(20; 40),  (40; 20), (-30; 10).

Lời giải:

a) - Vì x và y là giá trị biểu diễn lần lượt cho số sào đất để thực hiện trồng cà tím và cà chua nên  x ≥ 0; y ≥ 0.

- Số tiền để mua hạt giống cho x sào đất trồng cà tím là 0,2.x (triệu đồng).

- Số tiền để mua hạt giống cho y sào đất trồng cà chua là 0,1.y (triệu đồng).

Theo đề ta có: số tiền để mua hạt giống tối đa là 9 triệu nên 0,2x + 0,1y ≤ 9 hay 0,2x + 0,1 y – 9 ≤ 0.

b) - Với  x = 20 và y = 40 ta có: 0,2.20 + 0,1 .40 – 9 = -1 < 0 nên không thoả mãn các bất phương trình trên.

- Với x = 40 và y = 20 ta có: 0,2.40 + 0,1 .20 – 9 = 1 > 0 nên thoả mãn các bất phương trình trên.

-Với x = 30 < 0 không thoả mãn bất phương trình x ≥ 0

Thực hành 1 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong Ví dụ 1.

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

a)$\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm là (0;0) và (1; -2).

+ Với x = 0,  y = 0 ta có : $\left\{\begin{array}{l}3.0+0-1=-1<0\\ 2.0-0+2=2>0\end{array}\right.$nên (0;0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Với x = 1,  y = -2 ta có : $\left\{\begin{array}{l}3.1-2-1=0\\ 2.1+2+2=6>0\end{array}\right.$nên (1;-2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$  có hai nghiệm là (0;0) và (1; -2)

c) $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm (0;0) và (1; -1)

+ Với x = 0,  y = 0 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0-1=-1<0\\ 0+2=2>0\end{array}\right.$ nên (0;0) là nghiệm của hệ bất phương trình

+ Với x = 1,  y = -2 ta có : $\left\{\begin{array}{l}-2-1=-3<0\\ 1+2=3>0\end{array}\right.$ nên (1;-1) là nghiệm của hệ bất phương trình

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm (0;0) và (1; -1)

d)$\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$có hai nghiệm (0; 0) và (0;1)

+ Với x = 0,  y = 0 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0+0-3=-3<0\\ -2.0+0+3=3>0\\ 0\ge 0\\ 0\ge 0\end{array}\right.$ nên (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Với x = 0,  y = 1 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0+1-3=-2<0\\ -2.0+1+3=4>0\\ 0\ge 0\\ 1\ge 0\end{array}\right.$ nên (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$có hai nghiệm (0; 0) và (0;1)

2. Biển diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khám phá 2 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\end{array}\right.$

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Lời giải:

- Ta xét gốc toạ độ O (0;0) ta thấy O không thuộc đường thẳng x + y – 3 = 0 và

0 + 0 – 3 = –3 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y-3\le 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm O.

- Ta xét gốc toạ độ O (0; 0) ta thấy O không thuộc đường thẳng -2x + y – 3 = 0 và

0 + 0 + 3 = 3 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $-2x+y+3\ge 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm O.

Vậy miền không gạch chéo trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho.

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình : $\left\{\begin{array}{c}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

- Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 8

Vẽ đường thẳng d₁: x + y - 8 = 0 đi qua hai điểm (0; 8) và (8; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 + 0 - 8 = - 8 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₁)

- Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y ≤ 18

Vẽ đường thẳng d₂ : 2x + 3y - 18 = 0 đi qua hai điểm (0; 6) và (9; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₂ và 0.2 + 0.3 - 18 = - 18 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₂)

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

- Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền không gạch chéo là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế.

Theo đề ta có:

+ Vì x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế nên x ≥ 0  và y ≥ 0

+ Số gam bột cam dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 24g nên x + 4y ≤ 24

+ Số lít nước dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 9l nước nên x + y ≤ 9

+ Số gam đường dùng để pha chế nước cam loại A và loại B không vượt qua 210 g nên 30x + 10y ≤ 210 hay 3x + y ≤ 21

Từ đó ta có hệ bất phương trình mô ta các điều kiện ràng buộc như sau: $\left\{\begin{array}{l}x+4y\le 24\\ x+y\le 9\\ 3x+y\le 21\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 4y ≤ 24

Vẽ đường thẳng x + 4y - 24 = 0 đi qua hai điểm (0; 6); (4; 5).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + 4y - 24 = 0  và 0 + 4.0 - 24 = -24< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 9

Vẽ đường thẳng x + y - 9 = 0 đi qua hai điểm (0; 9); (9; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y - 9 = 0 và 0 + 0 – 9 = -9 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y ≤ 21

Vẽ đường thẳng 3x + y - 21 = 0 đi qua hai điểm (7; 0); (6; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 3x + y - 21 = 0 và 3.0 + 0 - 21 = -21< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với các đỉnh O(0; 0); A(0; 6); B(4; 5); C(6; 3); D(7; 0)

Gọi F là số tiền doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: F = 60x + 80y

Giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại O(0; 0): F = 60.0 + 80.0 = 0;

Tại A(0; 6): F = 60.0 + 80.6 = 480;

Tại B(4; 5): F = 60.4 + 80.5 = 640;

Tại C(6; 3): F = 60.3 + 3.30 = 270;

Tại D(7; 0): F = 60.7 + 0.80 = 420.

F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 tại B (4; 5).

Vậy cần phải pha chế 4 lít loại A và 5 lít loại B để đạt được doanh thu cao nhất.

Bài tập

Bài 1 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau :

a) $\left\{\begin{array}{c}x+y-3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{c}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 4\\ x+y-5\le 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 3 ≥ 0

Vẽ đường thẳng x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 3 = 0 và 0 + 0 – 3 = -3 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả đường thẳng x + y – 3 = 0).

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành (chứa bờ Ox).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung (chứa bờ là Oy).

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình: x – 2y < 0

Vẽ đường thẳng d₁: x – 2y = 0 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 1).

Xét điểm A(0; 1) ta thấy: A $\notin$ d₁ và 0 – 2.1 = – 2  < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm A (không kể bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 3y > -2 hay x + 3y +2 > 0

Vẽ đường thẳng d₂ : x + 3y + 2 = 0 đi qua hai điểm (0; -2/3) và (-2; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₂ và 0 + 3.0 + 2 = 2 > 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₂).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : y – x < 3 hay y – x – 3 <0

Vẽ đường thẳng d₃ : -x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (-3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₃ và 0 + 0 – 3 = -3 < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₃).

Miền màu trắng (không bị gạch chéo) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≥ 1

Vẽ đường thẳng d: x – 1 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (1; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$d và 0 - 1 = - 1 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả bờ d).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≤ 4

Vẽ đường thẳng d₁: x – 4 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (4; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 – 4 = - 4 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 5  ≤ 0

Vẽ đường thẳng d₂: x + y – 5  = 0 đi qua hai điểm (5; 0) và (0; 5).

Xét gốc toạ độ 0 (0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 + 0 – 5 = - 5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₂).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ:

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 2 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí cacbon dioxide (CO₂) và 0,60 kg khí sulffur dioxide (SO₂), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO₂  và  0,20 kg SO₂. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (CO₂) của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

Lời giải:

a) Gọi x và y lần lượt là số lượng thùng thuốc trừ sâu loại A và B.

Theo đề ta có:

+ Quy định hạn chế sản lượng CO₂ của nhà máy tối đa là 75 kg mỗi ngày nên 0,25x + 0,5y ≤ 75 hay x + 2y ≤ 300

+ Quy định hạn chế sản lượng SO₂ của nhà máy tối đa là 90 kg mỗi ngày nên 0,6x

+ 0,2y ≤ 90 hay 3x + y ≤ 450

Do đó, ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x+2y\le 300\\ 3x+y\le 450\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 2y -300 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + 2y - 300 = 0 đi qua hai điểm (300; 0); (0; 150).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 2.0 - 300 = -300 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y - 450 ≤ 0

Vẽ đường thẳng a: 3x + y - 450 = 0 đi qua hai điểm (150; 0); (0; 450).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 3.0 + 0 - 450 = -450 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền ngiệm là miền tứ giác OADB với các đỉnh O(0; 0); A(0; 150); B(150; 0) và D(120;90).

b) Với x = 100 và y = 80 ta có:

+) 0,25.100 + 0,5.80 – 75 = – 10 < 0;

+) 0,6.100  + 0,2.80 – 90 = –14 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là hợp lí.

c) Với x  = 60 và y = 160 ta có:

+) 0,25.60 + 0,5.160 – 75 = 20 > 0;

+) 0,6.60  + 0,2.160 – 90 = –22 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp quy định.

Bài 3 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải:

Gọi x, y là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm.

Theo đề ta có:

+ Tổng thời gian để làm xong x cái đèn hình con cá và y cái đèn hình ngôi sao là: 2x + y ≤ 10 hay 2x + y -10 ≤ 0

+ Thời gian bạn Lan có thể thực hiện không quá 10 giờ nên 2x + y

Từ đó, ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 10\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + y -10 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: 2x + y - 10 = 0 đi qua hai điểm (5; 0); (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 2.0 + 0 - 10 = - 10 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền màu trắng (không bị gạch chéo) là phần biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bài 4 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân bằng tay để bàn trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số thiệp nhỏ và thiệp lớn bạn học sinh cần chuẩn bị.

Theo đề ta có:

+ Tổng thời gian để vẽ  x chiếc thiệp nhỏ và y chiếc thiệp lớn là : 2x+3y

+ Học sinh chỉ có 30 giờ để vẽ nên 2x + 3y ≤ 30 hay 2x + 3y -30 ≤ 0

+ Hội chợ yêu cầu cần ít nhất 12 tấm thiệp nên x + y ≥ 12 hay x + y – 12 ≥ 0 

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}2x+3y\le 30\\ x+y\ge 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y -30 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: 2x + 3y - 30 = 0  đi qua hai điểm (15; 0); (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 2.0 + 3.0 - 30 = - 30 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y – 12 ≥ 0 

Vẽ đường thẳng a: x + y - 12 = 0  đi qua hai điểm (12; 0); (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 0 - 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là phần màu trắng với các đỉnh A(12; 0); B(15; 0); C(6; 6).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được khi bán thiệp, ta có: F = 10x + 20y.

Giá trị của F tại các đỉnh của miền nghiệm là:

Tại A(12; 0): F = 10.12 + 20.0 = 120;

Tại B(15; 0): F = 10.15 + 20.0 = 150;

Tại C(6; 6): F = 10.6 + 20.6 = 180;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại C(6; 6).

Vậy cần phải vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại lớn để đạt được doanh thu cao nhất.

Bài 5 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn : đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau :

a) Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số giờ đạp xe và số giờ tập tạ của bạn Mạnh trong một tuần (x ≥ 0, y ≥ 0)

Theo đề ta có:

+ Thời gian tập thể dục tối đã của Mạnh trong tuần tối đa là 12 giờ nên x + y ≤ 12

+ Lượng tiêu thụ calo không vượt quá 7000 calo một tuần nên 350x + 700y ≤ 7000 hay x + 2y ≤ 20

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 12\\ x+2y\le 20\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 12 hay x + y – 12 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + y – 12 = 0 đi qua hai điểm (12; 0) và (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 0 – 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 20 hay x + 2y – 20 ≤  0

Vẽ đường thẳng a: x + 2y - 20 = 0  đi qua hai điểm (20; 0) và (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 2.0 – 20 = - 20 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là miền tứ giác OADC với đỉnh O(0; 0); A(0; 10); D(4; 8); C(12; 0).

a) Gọi F là chi phí tập luyện của Mạnh trong 1 tuần (đơn vị: nghìn đồng), ta có:

F = 50y.

Các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): F= 50.0 = 0;

Tại A(0; 10): F = 50.10 = 500;

Tại D(4; 8): F = 50.8 = 400;

Tại C(12;0): F = 50.0 = 0.

F đạt giá trị nhỏ nhất F = 0 tại O(0; 0) và C(12;0)

Vậy để tiết kiệm chi phí tập luyện thì bạn Mạnh đạp xe 12 giờ, không tập tạ hoặc không tham gia tập thể dục.

b) Gọi H là số calo bạn Mạnh muốn tiêu thụ: H = 350x + 700y.

Các giá trị của biểu thức H tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): H= 350.0 + 700.0 = 0;

Tại A(0; 10): H = 350.0 + 700.10 = 7 000;

Tại D(4; 8): H = 350.4 + 700.8 = 7 000;

Tại C(12;0): H = 350.12 + 700.0 = 4 200;

H đạt giá trị lớn nhất H = 7000 tại A(0; 10) và D(4; 8).

Vậy để tiêu thụ lượng calo nhiều nhất Mạnh có thể tập tạ 10 giờ hoặc có thể đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ