Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 

A. Câu hỏi

Hoạt động khởi động trang 26 Toán lớp 10 Tập 2:

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ? Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cầu thủ theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Học xong bài này, bạn hãy tìm cách nhanh hơn để trả lời các câu hỏi trên.

Lời giải:

- Có thể xem việc sắp xếp 5 cầu thủ vào vị trí thực hiện loạt đá luân lưu là công việc gồm 5 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ nhất: có 5 lựa chọn

Công đoạn 2: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 4 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 3: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 3 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 4: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 2 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 5: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 1 lựa chọn

Vậy có 5.4.3.2.1 = 120 cách sắp xếp 5 cầu thủ vào vị trí thực hiện loạt đá luân lưu

- Có thể xem việc lựa chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và thực hiện sắp xếp vào vị trí để đá luân lưu là một công việc gồm 5 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ nhất: có 11 lựa chọn

Công đoạn 2: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 10 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 3: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 9 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 4: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 8 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Công đoạn 5: Chọn vị trí cho cầu thủ thứ hai: có 7 lựa chọn từ những cầu thủ còn lại

Vậy có 11.10.9.8.7 = 55440 cách để chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và thực hiện sắp xếp vào vị trí để đá luân lưu.

- Mặt khác, cũng có thể xem việc lựa chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và thực hiện sắp xếp vào vị trí để đá luân lưu là một công việc gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ : Giả sử có a cách chọn

Công đoạn 2: Sắp xếp 5 cầu thủ được chọn vào vị trí đá luân lưu có 120 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và thực hiện sắp xếp vào vị trí để đá luân lưu là a.120 (cách)

Mà  có 11.10.9.8.7 = 55440 cách để chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và thực hiện sắp xếp vào vị trí để đá luân lưu.

Vậy có thể tính được số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ là: a = 55440 : 120 = 462 cách

- Như vậy bằng cách áp dụng quy tắc nhân chúng ta vẫn có thể giải quyết được bài toán khởi động

Hoạt động khám phá 1 trang 24 Toán lớp 10 Tập 2:

Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội.

a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra

b) Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không?       

Lời giải:

a) Tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra:

A – B – C; A – C – B; B – C – A; B – A – C; C – A – B; C – B – A

b) Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra

Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có thể áp dụng quy tắc nhân để thực hiện

Có thể xem việc sắp xếp thứ tự trình bày sản phẩm là công việc có 3 công đoạn:

Công đoạn 1: vị trí thứ nhất có 3 cách lựa chọn từ một trong ba đội A; B hoặc C

Công đoạn 2: vị trí thứ 2 có 2 cách lựa chọn từ hai nhóm còn lại

Công đoạn 3: vị trí thứ 3 có 1 cách lựa chọn

Vậy có 3.2.1 = 6 cách để sắp xếp thứ tự của các nhóm

Thực hành 1 trang 28 Toán lớp 10 Tập 2:

Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau(như Hình 3). Có bao nhiêu xách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp sáu bạn vào vị trí của 6 chiếc ghế là một hoán vị của 6 bạn. Do đó, cách sắp xếp 6 bạn vào vị trí của 6 chiếc ghế là:

P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (cách).

Vậy việc xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm có 720 cách.

Vận dụng 1 trang 28 Toán lớp 10 Tập 2:

Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc.

Lời giải:

Mỗi thứ hạng của 14 đội bóng là một hoán vị của 14 đội bóng.Vậy số khả năng về thứ hạng của các đội bóng khi mùa giải kết thúc là: P₁₄ = 14!

Hoạt động khám phá 2 trang 28 Toán lớp 10 Tập 2:

Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng, cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng ( Xem hình 4)

a) Hãy chỉ ra ít nhất bốn cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b) Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Lời giải:

a) Bốn cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau là:

Đ – T – X ; Đ – V– C; Đ – T – C; X – V – C.

b) Có thể xem việc sắp xếp 3 cờ trong 5 cờ vào 3 vị trí để báo tín hiệu là một công việc có 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Vị trí thứ nhất có 5 sự lựa chọn 1 trong 5 cờ.

Công đoạn 2: Vị trí thứ hai có 4 sự lựa chọn trong 4 lá cờ còn lại.

Công đoạn 3: Ví trí thứ 3 có 3 sự lựa chọn trong 3 lá cờ còn lại.

Vậy có thế báo nhiều nhất 5.4.3 = 60 tín hiệu khác nhau.

Thực hành 2 trang 29 Toán lớp 10 Tập 2:

Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số khác nhau.

a) Có thể lập được bao số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Lời giải:

a) Mỗi số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ 7 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 7. Do đó, có thể lập được: $A_7^3=210$  (số).

b)

Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là số lẻ. Có 4 cách chọn (chọn 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7).

Bước 2: Chọn 2 chữ số còn lại, có : $A_6^2=30$  (cách).

Vậy có thể tạo thành 4.30 = 120 số lẻ có 3 chữ số khác nhau từ dãy số đã cho.

Hoạt động khám phá 3 trang 29 Toán lớp 10 Tập 2:

Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè.

a) Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b) Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c) Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Lời giải:

a) Tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách A; B; C; D là:

A – B – C; A – B – D; A – C – D; B – C – D

Có tất cả 3 cách để chọn ra 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách.

b) Lan có 3! = 6 cách sắp xếp thứ tự ba cuốn sách đã chọn.

c) Lan có $A_4^3=24$  cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một.

Thực hành 3 trang 31 Toán lớp 10 Tập 2:

Tính

a) $C_7^2$ ;                   

b) $C_9^0+C_9^9$;           

c) $C_{15}^3-C_{14}^3$ .

Lời giải:

a) $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=\frac{\mathrm{7.6.5.4.3.2.1}}{\mathrm{2.1.5.4.3.2.1}}=\frac{7.6}{2}=21$ .

b)  $C_9^0+C_9^9$

Ta có : $C_9^0=C_9^9=\frac{9!}{0!.9!}$ = 1 nên $C_9^0+C_9^9=1+1=2$ .

c) $C_{15}^3-C_{14}^3$  =$\frac{15!}{3!12!}-\frac{14!}{3!11!}=\frac{\mathrm{15.14.13.12}!}{\mathrm{3.2.1.12}!}-\frac{\mathrm{14.13.12.11}!}{\mathrm{3.2.1.11}!}=\frac{\mathrm{15.14.13}}{3.2}-\frac{\mathrm{14.13.12}}{3.2}$

                   = 455 – 364 = 91.

Thực hành 4 trang 31 Toán lớp 10 Tập 2:

Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Lời giải:

a) Mỗi trận đấu được diễn ra bởi 2 đội, do đó mỗi cách chọn 2 đội từ 7 đội tham gia là một tổ hợp chập 2 của 7. Vậy có $C_7^2=21$  (trận đấu)

b) Số cách chọn ra ba đội có thành tích tốt nhất thi đấu cấp liên trường là: $C_7^3=35$ .

Vậy có 35 khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường

Vận dụng 2 trang 31 Toán lớp 10 Tập 2:

Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Lời giải:   

a) Đoạn thẳng được tạo thành nếu nối 2 điểm trong các điểm đã cho trên đường tròn lại với nhau.D o đó mỗi đoạn thẳng được tạo thành là một tổ hợp chập 2 của 6.

Vậy số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho là $C_6^2=15$  (đoạn thẳng).

b) Mỗi tam giác có 3 đỉnh. Do đó, mỗi tam giác được tạo thành là một tổ hợp chập 3 của 6. Vậy có $C_6^3=20$  tam giác thuộc các đỉnh đã cho.

Hoạt động thực hành 5 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A_{15}^{10}$                    

b) $C_{10}^6+C_{10}^7+C_{11}^8$    

c)  $C_5^1{C}_{20}^2+C_5^2{C}_{20}^1$

Lời giải:            

Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay ta có:

a) $A_{15}^{10}$ =1,08972864.10¹⁰ 

b) $C_{10}^6+C_{10}^7+C_{11}^8$ = 495

c) $C_5^1{C}_{20}^2+C_5^2{C}_{20}^1$ = 1150 

B. Bài tập

Bài 1 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy năm chiếc ghế.

a) Có bao nhiêu cách xếp?

b) Nếu bạn Nga ( một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái thì có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:

a) Mỗi cách sắp xếp một nhóm 5 học sinh vào một dãy năm chiếc ghế là một hoán vị của 5 học sinh. Vậy số cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào dãy 5 chiếc ghế là: P₅ = 5! = 120 (cách).

b) Bước 1: chọn vị trí ngoài cùng bên trái có 1 cách chọn (bạn Nga).

Bước 2: Chọn 4 vị trí còn lại là P₄ = 4! = 24 cách.

Vậy có 24 cách để bạn Nga có thể ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái.

Bài 2 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Từ các chữ số sau đây, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b) 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Lời giải:

a) Mỗi số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 6 chữ số là một chỉnh hợp chập 4 của 6 .Do đó, có thể lập được:  $A_6^4=360$  (số)

b) Việc lập số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5, được chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Vị trí hàng chục nghìn: Có 5 cách chọn (trừ số 0).

Giai đoạn 2: 3 hàng còn lại, có: $A_5^3=60$ .

Vậy có thể lập được 60.5 = 300 số có 4 chữ số khác nhau từ các số đã cho.

Bài 3 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau:

a) 3 bạn được chọn bất kì;

b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Lời giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn bất kì trong 9 bạn để tham gia trực nhật là một tổ hợp chập 3 của 9. Vậy có $C_9^3=84$  cách để chọn 3 bạn bất kì từ 9 bạn tổ Một.

b) Cách để cử 3 bạn của tổ Một làm trực nhật trong đó có 2 nam và 1 nữ gồm hai giai đoạn:

Bước 1: Chọn 2 bạn nam trong 4 bạn nam, có: $C_4^2=6$ cách.

Bước 2: Chọn 1 bạn nữ trong 5 bạn nữ, có $C_5^1$  = 5 cách.

Vậy có 6.5 = 30 cách để chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ từ các bạn học sinh tổ Một.

Bài 4 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một uỷ ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một uỷ viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu uỷ ban này?

Lời giải:

Mỗi kết quả của việc bầu ra các chức vụ của uỷ bạn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 .Vậy có $A_8^3=1680$  khả năng có thể về kết quả bầu uỷ ban này.

Bài 5 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên?

Lời giải:

Có thêm xem việc phân công các bạn trong nhóm làm công việc hỗ trợ tại trung tâm chăm sóc người cao tuổi là 1 công việc gồm 3 bước:

Bước 1: Chọn 3 bạn hỗ trợ đi lại, có:$C_7^3=35$ cách.

Bước 2: Chọn 2 bạn hỗ trợ tắm rửa trong 4 bạn còn lại , có: $C_4^2=6$ cách.

Bước 3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống có 1 cách.

Vậy có 35.6.1 = 210 cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc hỗ trợ.

Bài 6 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Lời giải:

Với mỗi hai đường thẳng song song theo chiều dọc và 2 đường thẳng song song theo chiều ngang tạo thành 1 hình bình hành. Do đó,việc tạo thành hình bình hành từ những đường thẳng song song đã cho là một công việc gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 đường thẳng song song theo chiều dọc, có: $C_5^2=10$ cách lựa chọn

Công đoạn 2: Chọn 2 đường thẳng song song theo chiều ngang, có:  $C_4^2=6$cách lựa chọn

Vậy số hình bình hành được tạo thành là: 10.6 = 60 (hình bình hành).

Bài 7 trang 32 Toán lớp 10 Tập 2:

Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và lượt về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải:

Mỗi trận đấu diễn ra giữa hai đội trong 14 đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 14. Do đó có : $C_{14}^2=91$.

Vậy số trận đấu được diễn ra gồm 2 vòng lượt đi và lượt về là: 2.91 = 182 (trận)