Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn 

Hoạt động khởi động trang 11 SGK Toán lớp 10 Tập 2: Với giá trị nào của x thì tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 5x + 3 mang dấu dương?

Lời giải:

Xét tam thức f(x) = 2x² – 5x + 3 có ∆ = (-5)² – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = $\frac{3}{2}$  và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm khi x thuộc khoảng $\left(1;\frac{3}{2}\right)$  và f(x) dương khi x thuộc khoảng (-∞; 1) và $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ .

Hoạt động khám phá trang 11 Toán lớp 10 Tập 2: Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày từ việc kinh doanh một loại gạo của cửa hàng phụ thuộc vào giá bán (x) của một kilôgam loại gạo đó theo công thức I = - 3x² + 200x – 2 325, với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Lời giải:

Vì x là giá bán của một kilôgam gạo nên x ≥ 0

Đặt f(x) = - 3x² + 200x – 2 325 là tam thức bậc hai với a = -3, b = 200, c = -2 325.

Ta có ∆ = 200² – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 15 và x₂ = $\frac{155}{3}$  và a = -3 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng $\left(15;\frac{155}{3}\right)$  và f(x) âm khi x thuộc hai khoảng (0; 15) và $\left(\frac{155}{3};+\infty \right)$ .

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Vậy với x thuộc khoảng $\left(15;\frac{155}{3}\right)$  thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Thực hành 1 trang 11 Toán lớp 10 Tập 2: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) x² + x – 6 ≤ 0;

b) x + 2 > 0;

c) – 6x² – 7x + 5 > 0.

Lời giải:

a) x² + x – 6 ≤ 0 có dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 1, b = 1, c = -6 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì 2² + 2 – 6 = 0 nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

c) – 6x² – 7x + 5 > 0 có dạng ax² + bx + c > 0 với a = -6, b = -7 và c = 5 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì -6.2² – 7.2 + 5 = -33 < 0 nên x = 2 không là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 15x² + 7x – 2 ≤ 0;

b) – 2x² + x – 3 < 0.

Lời giải:

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 15x² + 7x – 2 có ∆ = 7² – 4.(-2).15 = 169 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{5}$ , x₂ = $-\frac{2}{3}$  và a = 15 > 0.

Suy ra f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi x thuộc khoảng $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$ .

Vậy bất phương trình 15x² + 7x – 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S = $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$ .

b) Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x² + x – 3 có ∆ = 1² – 4.(-2).(-3) = -23 < 0 và a = -2. Do đó g(x) vô nghiệm.

Suy ra g(x) luôn âm với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình – 2x² + x – 3 < 0 có tập nghiệm S = ℝ.

Vận dụng trang 12 Toán lớp 10 Tập 2: Hãy giải bất phương trình lập được trong hoạt động khám phá và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng đó có lãi.

Lời giải:

Ta có x là giá bán của một kilôgam gạo

Xét tam thức bậc hai f(x) = - 3x² + 200x – 2 325 có ∆ = 200² – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 15 và x₂ = $\frac{155}{3}$  và a = -3 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng $\left(15;\frac{155}{3}\right)$ .

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Suy ra với x thuộc khoảng $\left(15;\frac{155}{3}\right)$  thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Vậy với giá bán gạo trong khoảng 15 nghìn đồng đến $\frac{155}{3}$  nghìn đồng thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

B. Bài tập

Bài 1 trang 12 + trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trinh bậc hai sau đây:

a) x² + 2,5x – 1,5 ≤ 0;

b) – x² – 8x – 16 < 0

c) – 2x² + 11x – 12 > 0

d) $\frac{1}{2}$ x² + $\frac{1}{2}$ x + 1 ≤ 0

Lời giải:

a)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x₁ = -3 và x₂ = $\frac{1}{2}$  hay với x₁ = -3 và x₂ = $\frac{1}{2}$  thì f(x) = 0.

Trong hai khoảng (-∞; - 3) và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$  đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành hay f(x) > 0 khi x thuộc hai khoảng (-∞; - 3) và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

Trong khoảng $\left(-3;\frac{1}{2}\right)$  đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành hay f(x) < 0 khi x thuộc khoảng $\left(-3;\frac{1}{2}\right)$ .

Vậy bất phương trình x² + 2,5x – 1,5 ≤ 0 có tập nghiệm là $S=\left[-3;\frac{1}{2}\right]$ .

b)

Dựa vào  hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = -4 hay f(x) = 0 khi x = -4.

Với x ≠ -4 thì đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với x ≠ -4.

Vậy bất phương trình  – x² – 8x – 16 < 0 có tập nghiệm là S = ℝ\{-4}.

c)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt x₁ = $\frac{3}{2}$  và x₂ = 4 hay f(x) = 0 khi x₁ = $\frac{3}{2}$  và x₂ = 4.

Đồ thi hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với x thuộc hai khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$  và (4; +∞) hay f(x) < 0 với x thuộc $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$  ∪ (4; +∞).

Đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với x thuộc khoảng $\left(\frac{3}{2};4\right)$  hay f(x) > 0 với x thuộc khoảng $\left(\frac{3}{2};4\right)$ .

Vậy bất phương trình – 2x² + 11x – 12 > 0 có tập nghiệm S = $\left(\frac{3}{2};4\right)$ .

d) 

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thi hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với mọi x hay f(x) > 0 với x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình $\frac{1}{2}$ x² + $\frac{1}{2}$ x + 1 ≤ 0 có tập nghiệm S = $\varnothing$ .

Bài 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 2x² – 15x + 28 ≥ 0;

b) – 2x² + 19x + 255 > 0;

c) 12x² < 12x – 8;

d) x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 15x + 28 có ∆ = (-15)² – 4.2.28 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4, x₂ = $\frac{7}{2}$  và a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và $\left(\frac{7}{2};+\infty \right)$  và f(x) = 0 với x = 4, x = $\frac{7}{2}$ .

Vậy bất phương trình 2x² – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ $\left[\frac{7}{2};+\infty \right)$ .

b) Tam thức bậc hai g(x) =  – 2x² + 19x + 255 có ∆ = 19² – 4.(-2).255 = 2 401 > 0. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 17,  x₂ = $-\frac{15}{2}$  và a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng $\left(-\frac{15}{2};17\right)$ .

Vậy bất phương trình – 2x² + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = $\left(-\frac{15}{2};17\right)$ .

c) Ta có: 12x² < 12x – 8 ⇔ 12x² – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x² – 12x + 8 có ∆ = (-12)² – 4.12.8 = -240 < 0. Do đó h(x) vô nghiệm và a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x² < 12x – 8 có tập nghiệm là S = $\varnothing$ .

d) Ta có: x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x ⇔ - 4x² + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = – 4x² + 4x – 1 có ∆ = 4² – 4.(-4).(-1) = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = $\frac{1}{2}$  và a = - 4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$  và k(x) < 0 với mọi x ≠ $\frac{1}{2}$ .

Vậy bất phương trình x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x có tập nghiệm S = $\left\{\frac{1}{2}\right\}$ .

Bài 3 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50m². Hỏi chiều rộng vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Lời giải:

Mảnh đất hình chữ nhật có 30m hàng rào nghĩa là chu vi mảnh đấy hình chữ nhật là 30m. Khi đó nửa chu vi của hình chữ nhật là 30 : 2 = 15 (m).

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 15).

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là x(15 – x) = - x² + 15x (m).

Vì diện tích mảnh vườn hoa ít nhất là 50 m² nên – x² + 15x ≥ 50 ⇔ - x² + 15x – 50 ≥ 0.

Tam thức bậc hai – x² + 15x – 50 có ∆ = 15² – 4.(-1).(-50) = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5, x₂ = 10 và a = -1 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x nằm trong khoảng (5; 10) và f(x) = 0 khi x = 5 hoặc x = 10.

Do đó đó - x² + 15x – 50 ≥ 0 khi x ∈ [5; 10].

Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Một quả bóng được ném thẳng ở độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số h(t) = - 4,9t² + 10t + 1,6. Hỏi:

a) Bóng có thể cao trên 7m không?

b) Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Xét hiệu h(t) – 7 = - 4,9t² + 10t + 1,6 – 7 = - 4,9t² + 10t – 5,4 là hàm số bậc hai với a = -4,9, b = 10, c = - 5,4 và ∆ = 10² – 4.(-4,9).(-5,4) = -5,84 < 0. Do đó tam thức -4,9t² + 10t – 5,4 vô nghiệm và a = - 4,9 > 0 nên - 4,9t² + 10t – 5,4 < 0 với mọi t hay h(t) – 7 < 0 với mọi t.

⇔ h(t) < 7 với mọi t.

Vì vậy bóng không thể đạt độ cao trên 7m.

b) Bóng ở độ cao trên 5m nghĩa là h(t) ≥ 5 ⇔ -4,9t² + 10t + 1,6 ≥ 5

⇔ -4,9t² + 10t + 1,6 – 5 ≥ 0

⇔ -4,9t² + 10t – 3,4 ≥ 0.

Tam thức k(t) = -4,9t² + 10t – 3,4 có ∆ = 10² – 4.(-4,9).(-3,4) = 33,36 > 0. Do đó k(t) có hai nghiệm phân biệt t₁ ≈ 1,61 và t₂ ≈ 0,43.

Suy ra k(t) > 0 khi t ∈ (0,43; 1,61).

Khi đó bóng ở độ cao trên 5m nằm trong khoảng thời gian từ 1,61 – 0,43 = 1,18s.

Vậy trong khoảng thời gian 1,18s thì bóng ở độ cao trên 5m.

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoáng sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = - 0,006x² với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong Hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Lời giải:

Gọi A, H, B lần lượt là các điểm trên hình vẽ:

Đổi 15cm = 0,15 m

Để tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm thì OH ≤ 0,15 hay – (– 0,006x²) ≤ 0,15

⇔ x² – 25 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 25 có ∆ = 0² – 4.(-25) = 100 > 0, a = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = - 5 và x₂ = 5.

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) không âm khi x thuộc đoạn [-5; 5].

Tương ứng x₁, x₂ lần lượt là hoành độ của các điểm A và B. Khi đó AB = |x₂ – x₁| = |5 – (-5)| = 10.

Vậy độ rộng của đường là 10 m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.