Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 

Hoạt động khởi động trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Trong hình bên, các tam giác vuông được xếp với nhau để tạo thành một đường tương tự đường xoắn ốc. Với x bằng bao nhiêu thì OA = $\frac{1}{2}$OC?

Lời giải:

Vì x là độ dài cạnh tam giác vuông nên x > 0.

Ta có OA = $\frac{1}{2}$ OC

$\iff \sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}$ (điều kiện x² – 1 ≥ 0 ⇔ x² ≥ 1 $\iff \left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 1\end{array}\right.$ ).

$\iff x^2-1=\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$

⇔ 4x² – 4 = x² + 1

⇔ 3x² = 5

⇔ x² = $\frac{5}{3}$

⇔  $\left[\begin{array}{l}{x}_1=-\sqrt{\frac{5}{3}}\\ x_2=\sqrt{\frac{5}{3}}\end{array}\right.$

Do đó x = $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ (không thỏa mãn) hoặc x = $\sqrt{\frac{5}{3}}$ (thỏa mãn)

Vậy với x = $\sqrt{\frac{5}{3}}$  thì OA = $\frac{1}{2}$ OC.

Hoạt động khám phá 1 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Lời giải: cho phương trình $\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}$  như sau đúng hay sai?

$\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}$

⇒ - 2x² – 2x + 11 = -x² + 3  (bình phương cả hai vế làm mất dấu căn)

⇒ - x² – 2x + 8 = 0                  (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 2 hoặc x = - 4                  (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4.

Lời giải:

Lời giải: trên sai, vì thiếu bước thử lại nghiệm dẫn đến kết luận nghiệm sai.

Để có Lời giải: đúng ta làm như sau:

$\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}$

⇒ - 2x² – 2x + 11 = -x² + 3  (bình phương cả hai vế làm mất dấu căn)

⇒ - x² – 2x + 8 = 0               (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 2 hoặc x = - 4             (giải phương trình bậc hai)

Thay x = 2 vào phương trình đã cho ta được:

$\sqrt{-{2.2}^2-2.2+11}=\sqrt{-2^2+3}\iff \sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ là mệnh đề sai.

Do đó x = 2 không thỏa mãn.

Thay x = -4 vào phương trình đã cho ta được:

$\sqrt{-2.{\left(-4\right)}^2-2.\left(-4\right)+11}=\sqrt{-{\left(-4\right)}^2+3}\iff \sqrt{-13}=\sqrt{-13}$ là mệnh đề sai.

Do đó x = -4 không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Thực hành 1 trang 16 Toán lớp 10 Tập 2: Giải phương trình 

$\sqrt{31x^2-58x+1}=\sqrt{10x^2-11x-19}.$

Lời giải:

$\sqrt{31x^2-58x+1}=\sqrt{10x^2-11x-19}.$

⇒ 31x² – 58x + 1 = 10x² – 11x – 19  (bình phương phương trình)

⇒ 21x² – 47x + 20 = 0

⇒  $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ x=\frac{4}{7}\end{array}\right.$

Thay lần lượt x = $\frac{5}{3}$  và x = $\frac{4}{7}$ vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán lớp 10 Tập 2: Lời giải: phương trình $\sqrt{-x^2+x+1}=x$ như sau đúng hay sai?

$\sqrt{-x^2+x+1}=x$

⇒ - x² + x + 1 = x² (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

⇒ - 2x² + x + 1 = 0 (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 1 hoặc x = $-\frac{1}{2}$  (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và $-\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Lời giải: trên sai vì thiếu bước thử lại nghiệm dẫn đến kết luận nghiệm sai.

Lời giải: đúng là:

$\sqrt{-x^2+x+1}=x$

⇒ - x² + x + 1 = x² (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

⇒ - 2x² + x + 1 = 0 (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 1 hoặc x = $-\frac{1}{2}$  (giải phương trình bậc hai)

Thay x  = 1 và x = $-\frac{1}{2}$  vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = 1 là thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Thực hành 2 trang 16 Toán lớp 10 Tập 2: Giải phương trình $\sqrt{3x^2+27x-41}=2x+3$ .

Lời giải:

$\sqrt{3x^2+27x-41}=2x+3$

⇒ 3x² + 27x – 41 = 4x² + 12x + 9

⇒ -x² + 15x – 50 = 0

⇒ x = 5 hoặc x = 10

Thay lần lượt x = 5 hoặc x = 10 vào phương trình đã cho ta thấy x = 5 và x = 10 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 5 và x = 10.

Vận dụng trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác OAB và OBC lấn lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) OC = 3OA;

b) OC = $\frac{5}{4}$ OB.

Lời giải:

Ta có OB = x (cm)

Khi đó AB = BC =  x – 1 (cm). Do đó x > 1

Xét tam giác OBC vuông tại B, có:

OC² = OB² + BC² (định lí Py – ta – go)

⇔ OC² = x² + (x – 1)² = 2x² – 2x + 1

⇔ OC = $\sqrt{2x^2-2x+1}$

Xét tam giác OAB vuông tại A, có:

OB² = AB² + OA² (định lí Py – ta – go)

⇔ OA² = AB² – OB²

⇔ OA² = x² –  (x – 1)² = x² – (x² – 2x + 1) = 2x – 1

⇔ OA = $\sqrt{2x-1}$

a) Vì OC = 3OA nên $\sqrt{2x^2-2x+1}$= 3$\sqrt{2x-1}$

⇒ 2x² – 2x + 1 = 9(2x – 1)

⇒ 2x² – 2x + 1 = 18x – 9

⇒ 2x² – 20x + 10 = 0

⇒ x² – 10x + 5 = 0

⇒ x = 5 + 2$\sqrt{5}$  hoặc x = 5 – 2$\sqrt{5}$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = 5 – 2$\sqrt{5}$ (không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 5 + 2$\sqrt{5}$ (cm) thì OC = 3OA.

b) Vì OC = $\frac{5}{4}$ OB nên  = $\frac{5}{4}$ x

⇒ 2x² – 2x + 1 = $\frac{25}{16}$ x²

⇒ 16(2x² – 2x + 1) = 25x²

⇒ 7x² – 32x + 16 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = $\frac{4}{7}$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = $\frac{4}{7}$  (không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 4 (cm) thì OC = $\frac{5}{4}$ OB.

B. Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Giải phương trình sau:

a) $\sqrt{11x^2-14x-12}=\sqrt{3x^2+4x-7};$

b) $\sqrt{x^2+x-42}=\sqrt{2x-30};$

c) $2\sqrt{x^2-x-1}=\sqrt{x^2+2x+5};$

d) $3\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{7x^2+2x-5}=0.$

Lời giải:

a) $\sqrt{11x^2-14x-12}=\sqrt{3x^2+4x-7};$

⇒ 11x² – 14x – 12 = 3x² + 4x – 7

⇒ 8x² – 18x – 5 = 0

⇒ x = $\frac{5}{2}$  hoặc x =  $-\frac{1}{4}$

Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = $\frac{5}{2}$  là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = $\left\{\frac{5}{2}\right\}$ .

b) $\sqrt{x^2+x-42}=\sqrt{2x-30};$

⇒ x² + x – 42 = 2x – 30

⇒ x² – x – 12 = 0

⇒ x = - 3 hoặc x  = 4

Thay lần lượt x = -3 và x = 4 vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = $\varnothing$ .

c) $2\sqrt{x^2-x-1}=\sqrt{x^2+2x+5};$

⇒ 4x² – 4x – 4 = x² + 2x + 5

⇒ 3x² – 6x – 9 = 0

⇒ x = -1 hoặc x = 3

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy x = -1 hoặc x = 3 đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 3.

d) $3\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{7x^2+2x-5}=0.$

⇔ $3\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{7x^2+2x-5}$

⇒ 9(x² + x – 1) = 7x² + 2x – 5

⇒ 9x² + 9x – 9 = 7x² + 2x – 5

⇒ 2x² + 7x – 4 = 0

⇒ x = -4 và x = $\frac{1}{2}$

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = -4.

Bài 2 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Giải phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2+3x+1}=3;$

b) $\sqrt{x^2-x-4}=x+2;$

c) 2 + $\sqrt{12-2x}$  = x;

d) $\sqrt{2x^2-3x-10}=-5.$

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2+3x+1}=3;$

⇒ x² + 3x + 1 = 9

⇒ x² + 3x – 8 = 0

⇒ x = $\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$  hoặc x = $\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$ .

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{-3-\sqrt{41}}{2};\frac{-3+\sqrt{41}}{2}\right\}$ .

b) $\sqrt{x^2-x-4}=x+2;$

⇒ x² – x – 4 = x² + 4x + 4

⇒ – 5x = 8

⇒ x = $-\frac{8}{5}$

Thay x = $-\frac{8}{5}$  vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = $-\frac{8}{5}$ .

c) 2 + $\sqrt{12-2x}$  = x

⇔ $\sqrt{12-2x}$ = x – 2

⇒ 12 – 2x = x² – 4x + 4

⇒ x² – 2x – 8 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = - 2

Thay lần lượt từng giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.

d) $\sqrt{2x^2-3x-10}=-5.$

⇒ 2x² – 3x – 10 = 25

⇒ 2x² – 3x – 35 = 0

⇒ x = 5 và x = $-\frac{7}{2}$

Thay lần lượt từng giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2cm.

a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB.

b) Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi AB = x (cm) (x > 0)

Vì AB ngắn hơn AC là 2cm nên AC = x + 2 (cm).

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí Py – ta – go)

⇔ BC² = x² + (x + 2)²

⇔ BC² = x² + x² + 4x + 4

⇔ BC² = 2x² + 4x + 4

⇔ BC = $\sqrt{2x^2+4x+4}$  (cm)

Vậy BC = $\sqrt{2x^2+4x+4}$  (cm).

b) Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = x + x + 2 + $\sqrt{2x^2+4x+4}$  = 2x + 2 + $\sqrt{2x^2+4x+4}$  (cm).

Mà chu vi của tam giác ABC là 24cm nên ta có phương trình:

2x + 2 + $\sqrt{2x^2+4x+4}$  = 24

⇔ $\sqrt{2x^2+4x+4}$  = 22 – 2x

⇒ 2x² + 4x + 4 = 484 – 88x + 4x²

⇒ 2x² – 92x + 480 = 0

⇒ x² – 46x + 240 = 0

⇒ x = 40 và x = 6

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình đã cho ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Với x = 6 thì AB = 6 cm, AC = 6 + 2 = 8 cm, BC = $\sqrt{{2.6}^2+4.6+4}=10$  cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm.

Bài 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$  khoảng cách từ tàu đến A.

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² – 2.OM.OB.cos$\widehat{BOM}$

⇔ MB² = x² + 2² – 2.x.2.cos60°

⇔ MB² = x² + 4 – 2x

⇔ MB = $\sqrt{x^2-2x+4}$  (km).

Ta lại có $\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180°$  ⇒ $\widehat{AOM}=180°-\widehat{BOM}=180°-60°=120°$ .

Xét tam giác MOA có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² – 2.OM.OA.cos$\widehat{AOM}$

⇔ MA² = x² + 1² – 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

⇔ MA = $\sqrt{x^2+x+1}$  (km).

Vậy MA = $\sqrt{x^2+x+1}$  km và MB = $\sqrt{x^2-2x+4}$  km.

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$  khoảng cách từ tàu đến A thì

$\sqrt{x^2-2x+4}=\frac{4}{5}\sqrt{x^2+x+1}$

⇒ x² – 2x + 4 = $\frac{16}{25}$ (x² + x + 1)

⇒ 25x² – 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇒ 9x² – 66x + 84 = 0

⇒ x = $\frac{11-\sqrt{37}}{3}$  hoặc x = $\frac{11+\sqrt{37}}{3}$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với x = $\frac{11-\sqrt{37}}{3}$  hoặc x = $\frac{11+\sqrt{37}}{3}$  thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$  khoảng cách từ tàu đến A.

c) Đổi 500 m = 0,5 km = $\frac{1}{2}$  km

Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì

$\sqrt{x^2-2x+4}=x-\frac{1}{2}$

⇔ x² – 2x + 4 = x² – x + $\frac{1}{4}$

⇔ – x = $-\frac{15}{4}$

⇔ x = $\frac{15}{4}$

Vậy x = $\frac{15}{4}$  thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m.