Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

Khám phá 1 trang 105 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy đo chiều dài của bàn học bạn đang sử dụng.

Lời giải:

Học sinh tự thực hiện việc đo chiều dài bàn học đang sử dụng.

Thực hành 1 trang 105 Toán lớp 10 Tập 1: Trong trích đoạn một báo cáo tài chính dưới đây, theo bạn, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng?

Trong tháng 01/2021 có 47 dự án được cấp phép mới với số vốn đăng kí đạt gần 1,3 tỉ USD, giảm khoảng 81,8% về số dự án và 70,3% về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước; 46 lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước đăng kí điều chỉnh vốn đầu tư với số vốn tăng thêm trên 0,5 tỉ USD, tăng gần 41,4%.

Lời giải:

Các số đúng là: 47, 46.

Các số gần đúng là: 1,3; 81,8%; 70,3%; 0,5; 41,4%.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Khám phá 2 trang 105 Toán lớp 10 Tập 1: Vinh và Hoa đo chiều dài trang bìa của một quyển sổ (Hình 2). Vinh đọc kết quả là 21 cm. Hoa đọc kết quả là 20,7 cm. Kết quả của bạn nào có sai số nhỏ hơn?

Lời giải:

Ta thấy chiều dài trang bìa của quyển sổ nhỏ hơn 21 cm nên Hoa có kết quả sai số nhỏ hơn.

Thực hành 2 trang 106 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết 1,41 < $\sqrt{2}$ < 1,42. Hãy tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được.

Lời giải:

Độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm là $10\sqrt{2}$cm.

Do 1,41 < $\sqrt{2}$ < 1,42 nên 1,41 . 10 < $10\sqrt{2}$ < 1,42 . 10.

hay 14,1 < $10\sqrt{2}$ < 14,2.

Do đó nếu lấy giá trị gần đúng của $\sqrt{2}$ là 1,41 thì

$\overline{a}=10\sqrt{2}$ và a = 10 . 1,41 = 14,1

Khi đó ∆_a = $\left|\overline{a}-a\right|=\left|10\sqrt{2}-14,1\right|=10\sqrt{2}-14,1$ < 14,2 – 14,1 = 0,1.

Vậy độ chính xác d = 0,1.

Vận dụng 1 trang 106 Toán lớp 10 Tập 1: Một tấm bìa có dạng hình chữ nhật với kích thước được in như trong Hình 3.

a) Hãy cho biết kích thước chiều dài và chiều rộng của tấm bìa nằm trong khoảng nào?

b) Tính diện tích của tấm bìa.

Lời giải:

a) Do kích thước của tấm bìa là 170 × 240 (± 2 mm) nên chiều rộng của tấm bìa nằm trong khoảng 170 - 2 = 168 mm đến 170 + 2 = 172 mm.

Chiều dài của tấm bìa nằm trong khoảng 240 - 2 = 238 mm đến 240 + 2 = 242 mm.

b) Do tấm bìa có hình chữ nhật có kích thước 170 × 240 (± 2 mm) nên diện tích của tấm bìa là: 170 . 240 = 40 800 mm²

Với cận trên là (170 + 2) . (240 + 2) = 41 624 mm².

Với cận dưới là (170 - 2) . (240 - 2) = 39 984 mm².

Khi đó 39 984 ≤ $\overline{S}$ ≤ 41 624.

Vậy ước ượng sai số tuyệt đối của S là:

$\left|\overline{S}-S\right|$ ≤ 41 624 - 40 800 = 824.

Vậy diện tích của tấm bìa là 40800 ± 824 mm².

Khám phá 3 trang 106 Toán lớp 10 Tập 1: Vào năm 2015, các nhà khoa học trên thế giới ước lượng độ tuổi của vũ trụ là 13 799 ± 21 triệu năm.

Trọng tài bấm thời gian chạy 100 m của một vận động viên là 10,3 ± 0,1 giây.

Theo bạn, trong hai phép đo trên, phép đo nào có độ chính xác cao hơn?

Lời giải:

Nếu so sánh sai số tuyệt đối, ta thấy phép đo của trọng tài chính xác hơn của các nhà khoa học. Tuy nhiên, 21 triệu năm là độ chính xác của phép đo trong một khoảng thời gian dài 13 799 triệu năm, còn 0,1 giây là độ chính xác của phép đo một khoảng thời gian 10,3 giây. So sánh hai tỉ số

$\frac{21}{13799}=0,\mathrm{0015...}$ và $\frac{0,1}{10,3}=0,\mathrm{0097...}$

ta thấy phép đo của các nhà khoa học có tỉ số giữa độ chính xác và số gần đúng nhỏ hơn.

Do vậy, trong hai phép đo trên, phép đo của các nhà khoa học có độ chính xác cao hơn.

Thực hành 3 trang 107 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy ước lượng sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ và thời gian chạy của vận động viên ở Hoạt động khám phá 3 trang 106.

Lời giải:

Sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ không vượt quá $\frac{21}{13799}\approx 0,15\%$.

Sai số tương đối trong phép đo thời gian chạy của vận động viên không vượt quá  $\frac{0,1}{10,3}\approx 0,97\%$

3. Số quy tròn

Thực hành 4 trang 107 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục và ước lượng sai số tương đối.

Lời giải:

Quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục, ta được số gần đúng là b = 5500.

Khi đó sai số tuyệt đối là $\left|\overline{b}-b\right|=\left|5496-5500\right|$ = 4 < 5.

Sai số tương đối là ${\delta }_b=\frac{{\Delta }_b}{\left|b\right|}=\frac{4}{\left|5500\right|}\approx 0,073\%$.

Thực hành 5 trang 108 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 318081 ± 2000;

b) 18,0113 ± 0,003.

Lời giải:

a) Hàng lớn nhất của độ chính xác 2 000 là hàng nghìn nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn là 320 000.

b) Hàng lớn nhất của độ chính xác 0,003 là hàng phần nghìn nên ta quy tròn đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn là 18,01.

Thực hành 6 trang 108 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy xác định số gần đúng của các số sau với độ chính xác d = 0,0001.

a) $\overline{a}=\frac{20}{11}=1,\mathrm{8181818...}$;

b) $\overline{b}=1-\sqrt{7}=-1,\mathrm{6457513...}$ .

Lời giải:

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d = 0,0001 là hàng phần chục nghìn. Ta quy tròn các số đã cho đến hàng phần chục nghìn.

a) Quy tròn $\overline{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{a}$ là a = 1,8182.

b) Quy tròn $\overline{b}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{b}$ là b = – 1,6458.

Bài tập

Bài 1 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900 – 1600 trước Công nguyên đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng $\frac{25}{8}$ = 3,1250. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết 3,141 < π < 3,142.

Lời giải:

Theo bài ra số $\frac{25}{8}=3,1250$ là số gần đúng của số π.

Ta có: 3,141 < π < 3,142

$\Rightarrow 3,141-\frac{25}{8}<\pi -\frac{25}{8}<3,142-\frac{25}{8}$

⇒ 3,141 – 3,1250 < π – 3,1250 < 3,142 – 3,1250

⇒ 0,016 < π – 3,1250 < 0,017

$\Rightarrow$ |π – 3,1250| < 0,017

Do đó sai số tuyệt đối ∆ < 0,017.

Sai số tương đối là $\delta \le \frac{0,017}{3,1250}=0,544\%$.

Bài 2 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Cho số gần đúng a = 6547 với độ chính xác d = 100. Hãy viết số quy tròn của số a và ước lượng sai số tương đối của số quy tròn đó.

Lời giải:

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác d = 100 là hàng trăm, nên ta quy tròn đến hàng nghìn. Do đó số quy tròn của số gần đúng a = 6547 là số 7000.

Khi đó ${\Delta }_a=\left|6547-7000\right|$ = 453.

Sai số tương đối là $\delta =\frac{453}{\left|7000\right|}\approx 6,47\%$.

Bài 3 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết $\sqrt{3}=1,\mathrm{7320508....}$.

a) Hãy quy tròn $\sqrt{3}$ đến hàng phần trăm và ước lượng sai số tương đối.

b) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{3}$ với độ chính xác 0,003.

c) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{3}$ với độ chính xác đến hàng phần chục nghìn.

Lời giải:

a) Quy tròn $\sqrt{3}$ đến hàng phần trăm, ta được số gần đúng là 1,73. Do 1,73 < $\sqrt{3}$ < 1,735 nên sai số tuyệt đối là ∆ = $\left|\sqrt{3}-1,73\right|<0,005$.

Sai số tương đối là $\delta \le \frac{0,005}{1,73}\approx 0,3\%$.

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác 0,003 là hàng phần nghìn. Quy tròn $\sqrt{3}$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng của $\sqrt{3}$ là 1,732.

c) Vì độ chính xác đến hàng phần chục nghìn nên ta quy tròn $\sqrt{3}$ đến phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\sqrt{3}$ là 1,7321.

Bài 4 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 4536002 ± 1000;

b) 10,05043 ± 0,002.

Lời giải:

a) 4536002 ± 1000

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 1000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần chục nghìn.

Vậy số quy tròn trong trường hợp này là 4 540 000.

b) 10,05043 ± 0,002

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,002 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn cần tìm là 10,05.

Bài 5 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Một tam giác có ba cạnh đo được như sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± 0,2 cm và c = 9,7 cm ± 0,1 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

Chu vi của tam giác đó là:

a + b + c = (5,4 ± 0,2) + (7,2 ± 0,2) + (9,7 ± 0,1)

= (5,4 + 7,2 + 9,7) ± (0,2 + 0,2 + 0,1)

= 22,3 ± 0,5  (cm).

Vậy chu vi của tam giác đã cho là P = 22,3 cm ± 0,5 cm.

Bài 6 trang 109 Toán lớp 10 Tập 1: Chiếc kim màu đỏ chỉ cân nặng của bác Phúc (Hình 5). Hãy viết cân nặng của bác Phúc dưới dạng số gần đúng với độ chính xác 0,5 kg.

Lời giải:

Quan sát Hình ta thấy chiếc kim màu đỏ chỉ vào vạch gần với vạch thứ 4 tính từ vạch 60 sang vạch 70, tức là cân nặng của bác Phúc khoảng 64 kg.

Vậy cân nặng của bác Phúc là 64 ± 0,5 kg.