Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Khởi động trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình vẽ trên.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2 . AB . AC. cos $\widehat{A}$

$\Rightarrow$ BC² = 75² + 100² - 2 . 75 . 100 . cos 32^o

$\Rightarrow$ BC² ≈ 2904,28.

$\Rightarrow$ BC ≈ 53,9 m

Vậy khoảng cách giữa hai cái cây khoảng 53,9 m.

1. Giải tam giác

Thực hành trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 17,4;  $\widehat{B}={44}^{o}30\text{'};\widehat{C}={64}^o$

b) a = 10; b = 6; c = 8.

Lời giải:

a) $\widehat{A}={180}^0-({44}^{0}30\text{'}+{64}^0)={71}^0{30}^{\text{'}}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow b=a.\frac{\sin B}{\sin A}=17,4.\frac{\sin {44}^0{30}^{\text{'}}}{\sin {71}^0{30}^{\text{'}}}\approx 12,86$

$c=a.\frac{\sin C}{\sin A}=17,4.\frac{\sin {64}^0}{\sin {71}^0{30}^{\text{'}}}\approx 16,49$

b) Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=0\Rightarrow \widehat{A}={90}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b.\sin A}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{B}={36}^0{52}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^0-({90}^0+{36}^0{52}^{\text{'}})={53}^0{8}^{\text{'}}$

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng 1 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với vận tốc 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25° về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Lời giải:

Ta có: OA = 450.1,5 = 675 km

           OB = 630.1,5 = 945 km

Mặt khác, ta có: $\widehat{AOB}={90}^0-{25}^0={65}^0$

$A{B}^2=O{B}^2+O{A}^2-2.OB.OA.\cos \widehat{AOB}$

= 945² + 675² - 2 . 945 . 675 . cos 65^o

≈ 809 494,7526

$\Rightarrow$ AB ≈ 899,72

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,72 km.

Vận dụng 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{CLH}=\frac{{49}^2+{104}^2-{78}^2}{\mathrm{2.49.104}}=\frac{1019}{1456}\Rightarrow \widehat{CLH}\approx {45}^0{35}^{\text{'}}$

$\cos \widehat{HLR}=\frac{{104}^2+{56}^2-{77}^2}{\mathrm{2.104.56}}=\frac{8023}{11648}\Rightarrow \widehat{HLR}\approx {46}^0{28}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{L}=\widehat{HLR}+\widehat{CLH}={92}^0{3}^{\text{'}}$

$\Rightarrow C{R}^2={49}^2+{56}^2-\mathrm{2.49.56.}\cos L\approx 5733,31\Rightarrow CR\approx 75,72km$

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,72 km

Bài tập

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB = 14, AC = 23, $\widehat{A}={125}^o$;

b) BC = 22, $\widehat{B}={64}^o,\widehat{C}={38}^o$;

c) AC = 22, $\widehat{B}={120}^o,\widehat{C}={28}^o$;

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos {125}^0={14}^2+{23}^2-\mathrm{2.14.23.}\cos {125}^0\approx 1094,38$

$\Rightarrow$BC ≈ 33,08

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$ 

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{14.\sin 125°}{33,08}\approx 0,35\Rightarrow \widehat{C}={20}^0{17}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{23.\sin 125°}{33,08}\approx 0,57\Rightarrow \widehat{B}={34}^0{44}^{\text{'}}$

b) Ta có: $\widehat{A}={180}^0-({64}^0+{38}^0)={78}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\frac{BC.\sin B}{\sin A}=\frac{22.\sin {64}^0}{\sin {78}^0}\approx 20,22$

$AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}=\frac{22.\sin {38}^0}{\sin {78}^0}\approx 13,85$

c) Ta có: $\widehat{A}={180}^0-({120}^0+{28}^0)={32}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

 $\Rightarrow BC=\frac{AC.\sin A}{\sin B}=\frac{22.\sin 32°}{\sin 120°}\approx 13,46$

$AB=\frac{AC.\sin C}{\sin B}=\frac{22.\sin 28°}{\sin 120°}\approx 11,93$

d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{-383}{1472}\Rightarrow \widehat{A}\approx {105}^0{5}^{\text{'}}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{23.\sin 105°5\text{'}}{44}\approx 0,505\Rightarrow \widehat{C}\approx {30}^0{18}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{B}={180}^0-({105}^0{5}^{\text{'}}+{30}^0{18}^{\text{'}})\approx {44}^0{37}^{\text{'}}$

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos C\approx 109,28$ 

$\Rightarrow$ AB ≈ 10,45 km.

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B là:

10 + 8 – 10,45 = 7,55 km.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình bên dưới.

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

$\tan O=\frac{AB}{OB}\Rightarrow AB=OB.\tan O=16.\tan 56,5^0\approx 24,17$

Vậy khoảng cách tử tâm cánh quạt đến mặt đất khoảng 24,17 + 1,5 = 25,67 m.

Bài 4 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).

Lời giải:

Vì $\widehat{CDA}$ và $\widehat{ADB}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{CDA}={180}^0-{40}^0={140}^0$

Xét tam giác ACD có $\widehat{CAD}={180}^0-({32}^0+{140}^0)=8^0$

$\frac{AD}{\sin C}=\frac{CD}{\sin A}\Rightarrow AD=\frac{CD.\sin C}{\sin A}=\frac{1.\sin {32}^0}{\sin 8^0}$

Áp dụng định lí sin ta có:  ≈ 3,81 km.

Xét tam giác ABD vuông tại B, ta có:$\sin \widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AB=AD.\sin {40}^0$ ≈ 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Lời giải:

Gọi điểm tại khinh khí cầu là A

Theo giả thiết ta có: $\widehat{APQ}={30}^0;\alpha ={38}^0$

Mà $\widehat{AQP}$ và α là hai góc kề bù nên  $\widehat{AQP}={180}^0-{38}^0={142}^0$

$\Rightarrow \widehat{PAQ}={180}^0-({30}^0+{142}^0)=8^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

 $\frac{PQ}{\sin A}=\frac{AQ}{\sin \widehat{APQ}}\Rightarrow AQ=\frac{PQ.\sin \widehat{APQ}}{\sin A}=\frac{60.\sin {30}^0}{\sin 8^0}$≈ 215,56 km.

Bài 6 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Lời giải:

Xét tam giác ADB vuông tại B ta có:

$\cos {62}^0=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD=\frac{AB}{\cos {62}^0}=\frac{352}{\cos {62}^0}\approx 749,78$ m.

Tương tự với tam giác ABC vuông tại B ta có: $AC=\frac{AB}{\cos {54}^0}\approx 598,86$

Áp dụng định lí côsin ta có:

 $C{D}^2=A{D}^2+A{C}^2-2AD.AC.\cos {43}^0\approx 264028,34$

$\Rightarrow$CD ≈ 513,84 m

Vậy khoảng cách giữa hai mốc này khoảng 513,84 m.