Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Video giải bài tập Toán 10 Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Hoạt động khởi động trang 21 Toán lớp 10 Tập 1:

Lời giải:

Các số 75, 90, 120 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên đặt vào phần bội chung của 3 và 5; các số 78,  231 chỉ chia hết cho 3 nên đặt vào phần bội của 3 không thuộc bội chung của 3 và 5; các số 65, 100 chỉ chia hết cho 5 nên đặt vào phần bội của 5 không thuộc vào phần bội chung của 3 và 5; các số 82, 94 không chia hết cho số nào trong hai số 3 và 5 nên đặt vào ngoài miền bội của 3 hoặc bội của 5.

1. Hợp và giao của tập hợp

Khám phá 1 trang 21 Toán lớp 10 Tập 1: Bảng sau đây cho biết kết quả vòng phỏng vấn tuyển dụng vào một công ty (dấu “+” là đạt, dấu “-” là không đạt):

a) Xác định tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn, tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về mặt ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ.

c) Xác định tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

Lời giải:

a) Dựa vào bảng trên ta thấy, các ứng viên đạt về chuyên môn là: a₁; a₂; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀.

Vì vậy ta có A = {a₁; a₂; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀}.

Dựa vào bảng trên ta thấy, các ứng viên đạt về ngoại ngữ là: a₁; a₃; a₅; a₆; a₈; a₁₀.

Vì vậy ta có B = {a₁; a₃; a₅; a₆; a₈; a₁₀}.

b) Dựa vào bảng trên ta thấy, các ứng viên đạt yêu cầu về cả chuyên môn và ngoại ngữ: a₁; a₅; a₆; a₈; a₁₀.

Vì vậy ta có C = {a₁; a₅; a₆; a₈; a₁₀}.

c) Dựa vào bảng trên ta thấy, các ứng viên đạt yêu cầu ít nhất về cả chuyên môn và ngoại ngữ là: a₁; a₂; a₃; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀.

Vì vậy ta có D = {a₁; a₂; a₃; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀}.

Thực hành 1 trang 23 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định tập hợp A ∪ B và A ∩ B, biết:

a) A = {a; b; c; d; e}, B = {a; e; i; u};

b) A = {x ∈ ℝ| x² + 2x – 3 = 0}, B = {x ∈ ℝ | |x| = 1}.

Lời giải:

a) Ta có: A = {a; b; c; d; e}, B = {a; e; i; u}

Khi đó $A\cup B$ = {a; b; c; d; e; i; u}.

Và $A\cap B$ = {a; e}.

b) Ta có x² + 2x – 3 = 0 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$$\Rightarrow$A = {1; - 3}.

Ta có: |x| = 1 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$$\Rightarrow$ B = {- 1; 1}.

Khi đó, ta có:

$A\cup B$ = {- 3; - 1; 1}.

$A\cap B$ = {1}.

Thực hành 2 trang 23 Toán lớp 10 Tập 1: Cho A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ , 3x – y = 9}, B =  {(x; y)| x, y ∈ ℝ , x – y = 1}. Hãy xác định A ∩ B.

Lời giải:

Vì (x, y) $\in A\cap B$ vậy (x, y) vừa thuộc tập hợp A và vừa thuộc tập hợp B nên cặp (x; y) thỏa mãn hệ:$\left\{\begin{array}{l}3x-y=9\\ x-y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\right.$ Vậy $A\cap B$ = {(4; 3)}.

Vận dụng trang 23 Toán lớp 10 Tập 1: Tại vòng chung kết của một trò chơi

truyền hình, có 100 khán giải tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh

A và B. Biết rẳng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh này.

Có bao nhiêu khán giá đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?

Lời giải:

Gọi C là tập hợp khán giả đã tham gia bình chọn, tập hợp D là tập hợp khán giả bình chọn cho thí sinh A, tập hợp E là tập hợp khán giả bình chọn cho thí sinh B. Ta có số khán giả đã tham gia bình chọn |C| = |D| + |E| - |$D\cap E$| = 85 + 72 – 60 = 97

Vậy số khán giả không tham gia bình chọn là: 100 – 97 = 3

Được biểu thị bằng biểu đồ ven như sau:

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

Khám phá 2 trang 23 Toán lớp 10 Tập 1: Trở lại bảng thông tin về kết quả phỏng vấn tuyển dụng ở hoạt động khởi động.

a) Xác định tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn.

Lời giải:

a) Dựa vào bảng ta thấy các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ là: a₂; a₇.

Vì vậy tập hợp E = {a₂; a₇}.

b) Dựa vào bảng ta thấy các ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn: a₃; a₄; a₉

Vì vậy tập hợp F = {a₃; a₄; a₉}.

Thực hành 3 trang 24 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các tập hợp E = {x ∈ ℕ | x < 8}, A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}. Xác định các tập hợp sau đây:

a) A\B, B\A và (A\B) ∩ (B\A);

b) C_E(A ∩ B) và (C_EA) ∪ (C_EB);

c)  C_E(A ∪ B) và (C_EA) ∩ (C_EB).

Lời giải:

Ta có E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {3; 4; 5}.

a) Tập hợp A\B gồm các phần tử thuộc tập A không thuộc tập hợp B nên A \ B = {0; 1; 2}.

Tập hợp B\A gồm các phần tử thuộc tập B không thuộc A nên B \ A = {5}

Khi đó: 

$\left(A\backslash B\right)\cap \left(B\backslash A\right)=\varnothing$

Vậy A \ B = {0; 1; 2}, B \ A = {5} và:

$\left(A\backslash B\right)\cap \left(B\backslash A\right)=\varnothing$.

b) Tập hợp A∩B là tập gồm các phần tử vừa thuộc tập A vừa thuộc tập B nên $A\cap B$ = {3; 4}.

Vì tập A∩B là tập con của tập E nên phần bù của tập A∩B trong tập E được xác định là $C_E(A\cap B)$

 = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

Vì tập hợp A là tập con của tập E nên tập phần bù của A trong E được xác định là C_EA = {5; 6; 7}.

Vì tập hợp B là tập con của tập E nên tập phần bù của B trong E được xác định là C_EB = {0; 1; 2; 6; 7}.

Do đó $\left(C_{E}A\right)\cup \left(C_{E}B\right)$

= {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

Vậy $C_E(A\cap B)$

= {0; 1; 2; 5; 6; 7} và $\left(C_{E}A\right)\cup \left(C_{E}B\right)$

 = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

c) Tập hợp A∪B là tập gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B nên $A\cup B$ = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Vì A∪B là tập con của tập E nên tập phần bù của tập hợp A∪B trong E là $C_E(A\cup B)$ 

= {6; 7}.

Ta có: C_EA = {5; 6; 7} và C_EB = {0; 1; 2; 6; 7}.

Do đó $\left(C_{E}A\right)\cap \left(C_{E}B\right)$

= {6;7}.

Vậy $C_E(A\cup B)$

= {6; 7} và $\left(C_{E}A\right)\cap \left(C_{E}B\right)$

= {6;7}.

Thực hành 4 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định các tập hợp sau đây:

a) (1; 3) ∪ [-2; 2];

b) $\left(-\infty ;1\right)\cap \left[0;\pi \right]$;

c) $\left[\frac{1}{2};3\right)\backslash \left(1;+\infty \right);$

d) $C_{ℝ}\left[-1;+\infty \right)$

Lời giải:

a) Ta có sơ đồ sau:

Vậy (1; 3) $\cup$[- 2; 2] = [- 2; 3)

b) Ta có sơ đồ sau:

Vậy (- ∞; 1) $\cap$ [0; π] = [0; 1).

c) Ta có sơ đồ sau:

Vậy $\text{[}\frac{1}{2};3)\backslash (1;+\infty )=\text{[}\frac{1}{2};1]$

d) Ta có sơ đồ sau:

Vậy C_ℝ[- 1; + ∞) = (- ∞; -1).

Bài tập

Bài 1 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định các tập hợp A ∪ B và A ∩ B với:

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím};

b) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Lời giải:

a) Ta có tập $A\cup B$ là tập các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B nên $A\cup B$ = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; tràm; tím}.

Tập hợp $A\cap B$ là tập các phần tử vừa thuộc tập A vừa thuộc B nên $A\cap B$ = {lục; lam}.

Vậy $A\cup B$ = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; tràm; tím} và $A\cap B$ = {lục; lam}.

Vậy $A\cup B$ = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; tràm; tím} và $A\cap B$ = {lục; lam}.

b) Mọi tam giác đều đều là tam giác cân nên tập A $\subset$ B. Do đó $A\cup B$ = B và $A\cap B=A$.

Vậy $A\cup B$= B và $A\cap B=A$.

Bài 2 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định tập hợp A ∩ B  trong mỗi trường hợp sau:

a) A = {x ∈ ℝ | x² – 2 = 0}, B = {x ∈ ℝ | 2x – 1 < 0};

b) A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ , y = 2x – 1}, B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, y = - x + 5};

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Ta có x² – 2 = 0 ⇔ x² = 2 ⇔$\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.$

⇒ A = { $-\sqrt{2};\sqrt{2}$}.

Ta lại có 2x – 1 < 0 

⇔ x < $\frac{1}{2}$. Khi đó B = ($-\infty ;\frac{1}{2}$)

Tập A∩B gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B nên $A\cap B$ = $\text{{}-\sqrt{2}\text{}}$

b) Vì (x; y) $\in$$A\cap B$ nên (x; y) thỏa mãn hệ sau:$\left\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ y=-x+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$

Vậy $A\cap B$= {(2; 3)}

c) Ta thấy hình vuông vừa là hình chữ nhật và cũng là hình thoi. Do đó $A\cap B$ là tập hợp các hình vuông.

Vậy tập $A\cap B$ là tập hợp các hình vuông.

Bài 3 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Cho E = {x ∈ ℕ | x < 10}, A = {x ∈ E| x là bội của 3}, B = {x ∈ E| x là ước của 6}. Xác định các tập hợp A\B, B\A, C_EA, C_EB, C_E(A∪B), C_E(A∩B).

Lời giải:

Tập hợp E gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 10 nên E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Tập hợp A gồm các phần tử thuộc tập E và thỏa mãn là bội của 3 nên A = {0; 3; 6; 9}.

Tập hợp B gồm các phần tử thuộc tập E và thỏa mãn là ước của 6 nên B = {1; 2; 3; 6}.

Khi đó:

Tập hợp A\B là tập các phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B nên A \ B = {0; 9}.

Tập hợp  B\A là tập các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A nên B\A = {1; 2}.

Vì A là tập con của tập E nên tập hợp C_EA là tập phần bù của tập hợp A trong tập E được xác định là C_EA = {1; 2; 4; 5; 7; 8}.

Vì B là tập con của tập E nên tập hợp C_EB là tập phần bù của tập hợp B trong tập E được xác định là C_EB = {0; 4; 5; 7; 8; 9}

Tập hợp A∪B là tập các phần tử thuộc tập hợp A hoặc tập hợp B nên $A\cup B$= {0; 1; 2; 3; 6; 9}.

Do A∪B là tập con của tập hợp E nên tập phần bù của tập A∪B  trong E được xác định là $C_E(A\cup B)$ = {4; 5; 7; 8}.

Tập hợp A∩B là tập các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B nên $A\cap B$ = {3; 6}.

Do A∩B là tập con của tập E nên tập phần bù của tập A∩B  trong tập E được xác định là $C_E(A\cap B)$ = {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}.

Bài 4 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Cho A và B là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

a) A và A∪B;

b) A và A∩B.

Lời giải:

a) Tập hợp A là con của tập hợp $A\cup B$ vì tập hợp $A\cup B$ gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B nên các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp $A\cup B$.

Biểu đồ ven:

b) Tâp hợp $A\cap B$ là tập con của tập hợp A vì, tập hợp $A\cap B$ gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B nên các phần tử của tập $A\cap B$ đều thuộc tập hợp A.

Biểu đồ ven:

Bài 5 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích học môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:

a) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

b) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Lời giải:

a) Ta có biểu đồ ven như sau:

Gọi tập hợp A là tập các học sinh thích học môn Toán, tập hợp B là tập các học sinh thích môn Tiếng Anh. Khi đó n(A) = 20 và n(B) = 16 và n(A∩B) = 12.

Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Tiếng Anh là:

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 20 + 16 – 12 = 24.

Vậy có ít nhất 24 học sinh không thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Tiếng Anh.

b) Số học sinh không thích cả hai môn này là 35 – 24 = 11.

Vậy có 11 học sinh không thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh.

Bài 6 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định các tập hợp sau đây:

a) $\left(-\infty ;0\right]\cup \left[-\pi ;\pi \right]$;

b) [-3,5; 2] ∩ (-2; 3,5);

c) $\left(-\infty ;\sqrt{2}\right]\cap \left[1;+\infty \right)$;

d) $\left(-\infty ;\sqrt{2}\right]\backslash \left[1;+\infty \right)$ .

Lời giải:

a) Ta có sơ đồ sau:

Vậy $(-\infty ;0\text{]}\cup \text{[}-\pi ;\pi \text{]}$ = (- ∞; π]

b) Ta có sơ đồ sau:

Vậy $\text{[}-3,5;2\text{]}\cap \text{[}-2;3,5\text{]}$ = [- 2; 2]

c) Ta có sơ đồ sau:

Vậy $(-\infty ;\sqrt{2}\text{]}\cap \text{[1};+\infty )=\text{[}1;\sqrt{2}\text{]}$

d) Ta có sơ đồ sau:

Vậy $(-\infty ;\sqrt{2}\text{][1};+\infty )$ = (- ∞; 1).