Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Khởi động trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB²

$\Rightarrow$ BC² = 3² + 4²

$\Rightarrow$ BC² = 25

$\Rightarrow$ BC = 5 (do BC là độ dài đoạn thẳng nên BC > 0)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNP ta có:

NP² = MN² + MP² - 2 . MN . MP . cos $\widehat{M}$

$\Rightarrow$ NP² = 4² + 3² - 2 . 4 . 3 . cos 60^o

$\Rightarrow$ NP² = 13

$\Rightarrow$ NP = $\sqrt{13}$ (do NP là độ dài đoạn thẳng nên NP > 0)

1. Định lí cosin trong tam giác

Khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10 tập 1:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\widehat{C}\ge \widehat{B}$.Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong hình 1. Hãy thay dấu $\boxed{?}$ bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD , ta có: $a^2=d^2+{(c-x)}^2=d^2+c^2+x^2-2cx$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   $b^2=d^2+x^2\Rightarrow d^2=b^2-x^2$                (2)

                                                     $\cos A=\frac{\boxed{?}}{b}\Rightarrow \boxed{?}=b\cos A$                  (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên chứng minh rằng ta cũng có:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A.Hãy chứng tỏ công thức $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ có thể viết là $a^2=b^2+c^2$

Lời giải

a) Xét tam giác vuông BCD , ta có: $a^2=d^2+{(c-x)}^2=d^2+c^2+x^2-2cx$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   $b^2=d^2+x^2\Rightarrow d^2=b^2-x^2$                    (2)

                                                     $\cos A=\frac{x}{b}\Rightarrow x=b\cos A$                       (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

b)

Xét tam giác vuông BCD , ta có: $a^2=d^2+{(c+x)}^2=d^2+c^2+x^2+2cx$     (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:   $b^2=d^2+x^2\Rightarrow d^2=b^2-x^2$                    (2)

                      Vì A là góc tù nên  $\cos A=\frac{-x}{b}\Rightarrow x=-b\cos A$                      (3)          

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$         

c)

Theo đề ta có : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Mà $\cos A=\cos {90}^0=0$

Nên $a^2=b^2+c^2-2bc.0=c^2+b^2$

Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.

Lời giải:

Theo định lí côsin ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$

$={14}^2+{18}^2-\mathrm{2.14.18.}\cos {62}^0$≈ 283,39

$\Rightarrow BC\approx \sqrt{283,39}\approx 16,83$

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{14}^2+16,{83}^2-{18}^2}{\mathrm{2.14.16},83}\approx 0,3294$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 70°45\text{'}$

$\Rightarrow \widehat{C}\approx {180}^0-(\widehat{A}+\widehat{B})\approx {47}^0{15}^{\text{'}}$

Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70° (Hình 5).Lời giải:

Gọi A, B, C lần lượt là các điểm tại vị trí người quan sát và hai điểm ở hai đầu hồ nước.

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$

$={800}^2+{900}^2-\mathrm{2.800.900.}\cos 70°$ ≈ 957 490,99.

$\Rightarrow$ BC ≈ $\sqrt{957490,99}$ ≈ 978,5 m

Vậy khoảng cách giữa hai điểm của một hồ nước là 978,5 m.

2. Định lí sin trong tam giác

Khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính sin$\widehat{BDC}$  theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc $\widehat{BAC}$  và $\widehat{BDC}$. Từ đó chứng minh rằng 2R = $\frac{a}{\sin A}$

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = $\frac{a}{\sin A}$.

Lời giải:

a)

i) Ta có:     $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}$    (1)

ii) Ta có hai góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$cùng chắn cung BC nên $\widehat{BAC}$ = $\widehat{BDC}$      (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow 2R=\frac{a}{\sin A}$

b)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC nên BC = a = 2R.

sinA = $\sin {90}^0=1$ 

Hay $2R=\frac{a}{\sin A}$

Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Lời giải:

Ta có:$\widehat{P}={180}^0-(\widehat{N}+\widehat{M})={34}^0$

Áp dụng định lí sin vào tam giác MNP ta có:$\frac{NP}{\sin M}=\frac{MP}{\sin N}=\frac{MN}{\sin P}$

Suy ra:$MP=\frac{NP.\sin N}{\sin M}=\frac{22.\sin 112°}{\sin 34°}\approx 36,48$

$MN=\frac{NP.\sin P}{\sin M}=\frac{22.\sin 34}{\sin 34}=22$

Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn.Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Lời giải:

Gọi A, B, C, D lần lượt là vị trí của tháp canh , bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, điểm cháy

Ta có: $\widehat{ADC}={180}^0-(\widehat{DAC}+\widehat{C})={20}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

 $\frac{CD}{\sin \widehat{CAD}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ADC}}\Rightarrow CD=\frac{AC.\sin \widehat{CAD}}{\sin \widehat{ADC}}=\frac{900.\sin {35}^0}{\sin {20}^0}$≈ 1 509,32 m (1)

$\frac{AD}{\sin \widehat{C}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ADC}}\Rightarrow AD=\frac{AC.\sin \widehat{C}}{\sin \widehat{ADC}}=\frac{900.\sin {125}^0}{\sin {20}^0}$≈ 2 155,54 m

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2.AB.AD.\cos \widehat{BAD}$

$={1800}^2+2155,{54}^2-\mathrm{2.1800.2155},54.\cos {34}^0\approx 1453067,555$

$\Rightarrow BD=\sqrt{1453067,555}$ ≈ 1 205,43 m (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: BD < CD nên dẫn lửa từ bồn chứa nước A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC như Hình 10.

a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và h_a.

b) Tính h_a theo b và sinC.

c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ .

d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức  $S=\frac{abc}{4R}$.

Lời giải:

a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.h_a.a$ (1)

b)Xét ∆AHC vuông tại H có: $\sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{h_a}{b}\Rightarrow h_a=b.\sin C$ (2)

c) Thay (2) vào (1) ta có: $S=\frac{1}{2}b\sin C.a=\frac{1}{2}ab\sin C$   (3)

d) Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \sin C=\frac{c}{2R}$(4)

Thay (4) vào (3) ta được: $S=\frac{1}{2}ab.\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}$ (đpcm)

Khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{r(a+b+c)}{2}$

Lời giải:

a)$S_{IBC}=\frac{1}{2}r.BC=\frac{1}{2}\text{ar}$

Tương tự ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{IAB}=\frac{1}{2}\text{cr}\\ S_{IAC}=\frac{1}{2}\text{br}\end{array}$

b) $S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}=\frac{1}{2}\text{ar+}\frac{1}{2}\text{br+}\frac{1}{2}\text{cr=}\frac{r(a+b+c+)}{2}$ (đpcm)

Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\widehat{A}={60}^o$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Lời giải:

a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.14.35.}\sin {60}^0\approx 212,18$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A={14}^2+{35}^2-\mathrm{2.14.35.}\cos {60}^0=931\\ \Rightarrow a=\sqrt{931}=7\sqrt{19}\end{array}$

Mặt khác ta có: $S_{ABC}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{\mathrm{14.35.7}\sqrt{19}}{4.212,18}\approx 17,62$

b) Ta có: $p=\frac{1}{2}.(4+5+3)=6$

Áp dụng công thức Heron ta có:

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)}=6$

Mặt khác ta có :$S_{ABC}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=2,5$

Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Lời giải:

Gọi A, B, C lần lượt là 3 đỉnh của cánh thuyền buồm.

Ta có: $\widehat{C}={180}^0-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^0-({48}^0+{105}^0)={27}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{3,2.\sin {48}^0}{\sin {27}^0}\approx 5,24m$

 $\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin B=\frac{1}{2}.$3,2 . 5,24 . sin 105o ≈ 8,1 m2.

Bài tập

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}{x}^2=6,5^2+5^2-2.6,\mathrm{5.5.}\cos {72}^0\approx 47,16\\ \Rightarrow x=\sqrt{47,16}\approx 6,87\end{array}$

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

$x^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-2.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.\cos {123}^0\approx 0,22$

$\Rightarrow x=\sqrt{0,22}\approx 0,47$

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin ta có:$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow AB=c=\frac{AC.\sin C}{\sin B}=\frac{12.\sin {105}^0}{\sin {35}^0}\approx 20,21$

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\widehat{B}={79}^o,\widehat{C}={61}^o$. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{A}={180}^0-({79}^0+{61}^0)={40}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=2R$

$\Rightarrow AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}=\frac{152.\sin {61}^0}{\sin {40}^0}\approx 206,82$

$AC=\frac{BC.\sin B}{\sin A}=\frac{152.\sin {79}^0}{\sin {40}^0}\approx 232,13$

$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{152}{2.\sin {40}^0}\approx 118,24$

Bài 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2.AC.AB}=\frac{{700}^2+{500}^2-{800}^2}{\mathrm{2.700.500}}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx {81}^0{47}^{\text{'}}$

$\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2.BC.AB}=\frac{{800}^2+{500}^2-{700}^2}{\mathrm{2.800.500}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B}={60}^0$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^0-({81}^0{47}^{\text{'}}+{60}^0)\approx {38}^0{13}^{\text{'}}$

Bài 5 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Lời giải:

Diện tích lá cờ :$S=\frac{1}{2}\mathrm{90.90.}\sin {35}^0\approx 51,62m^2$

Bài 6 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\widehat{A}={60}^o$.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Lời giải:

a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{6.8.}\sin {60}^0=12\sqrt{3}$

b)
Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=8^2+6^2-\mathrm{2.8.6.}\cos {60}^0=52\\ \Rightarrow BC=\sqrt{52}\end{array}$

Ta có:$R=IB=IC=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{52}}{2\sin {60}^0}=\frac{2\sqrt{39}}{3}$(áp dụng định lí sin)

Mặt khác, ta có: $\widehat{CAB}$ và $\widehat{CIB}$ cùng chắn cung BC

Mà $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp và  $\widehat{CIB}$ góc ở tâm

Nên $\widehat{CIB}=2\widehat{CAB}={2.60}^0={120}^0$

Vậy $S_{IBC}=\frac{1}{2}.IB.IC.\sin \widehat{CIB}=\frac{1}{2}.{\left(\frac{2\sqrt{39}}{3}\right)}^2.\sin {120}^0=\frac{13\sqrt{3}}{3}$

Bài 7 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Lời giải:

a) Ta có: $p=\frac{1}{2}(15+18+27)=30$

Áp dụng công thức Heron ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{ABC}=\sqrt{30.(30-15).(30-18).(30-27)}=90\sqrt{2}\\ \Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{90\sqrt{2}}{30}=3\sqrt{2}\end{array}$

b) Gọi K và I là lần lượt là hình chiếu của A và G lên BC

Áp dụng hệ quả của định lí Thales $\frac{IG}{KA}=\frac{GL}{AL}=\frac{1}{3}$: 

$\frac{S_{GBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.GI.BC}{\frac{1}{2}AK.BC}=\frac{GI}{AK}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{GBC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}=\frac{1}{3}.90\sqrt{2}=30\sqrt{2}$

Bài 8 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho h_a là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức h_a = 2RsinBsinC.

Lời giải:

Ta có:$S_{ABC}=\frac{1}{2}{h}_a.BC$         (1)

Mà $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin C$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra :$h_a=AC.\sin C$  (3)

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AC}{\sin B}=2R\Rightarrow AC=2R\sin B$  (4)

Thay (4) vào (3) ta được: $h_a=2R\sin B\sin C$

Bài 9 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2\sqrt{2}$. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{\frac{1}{2}.BE.BD.\sin B}{\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B}=\frac{BE.BD}{BA.BC}$

b) Theo đề ta có: $\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{BD}{BA}.\frac{BE}{BC}=\frac{1}{9}$ (1)

Xét tam giác BCE vuông tại E ta có: $\cos B=\frac{BE}{BC}$ (2)

Xét tam giác BDA vuông tại D ta có: $\cos B=\frac{BD}{BA}$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được :${\cos }^{2}B=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos B=\frac{1}{3}$ ( Vì góc B nhọn)

Mặt khác, ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1\Rightarrow {\sin }^{2}B=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\Rightarrow \sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác BED ta có:$R^{\text{'}}=\frac{ED}{2\sin B}=\frac{3}{2}$

Xét tam giác BED và BCA ta có:

Góc B chung

$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$và $\frac{BD}{BA}=\frac{1}{3}$

Vậy tam giác AED đồng dạng với tam giác BCA nên $\frac{ED}{CA}=\frac{1}{3}$

Theo đề ta có:

$\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{BD.BE.DE}{4R\text{'}}}{\frac{BA.BC.AC}{4R}}=\frac{BD}{BA}.\frac{BE}{BC}.\frac{DE}{AC}.\frac{R}{R^{\text{'}}}=\frac{1}{27}.\frac{R}{R^{\text{'}}}=\frac{1}{9}$$\Rightarrow R=3R^{\text{'}}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Bài 10 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh $S=\frac{1}{2}xy\sin \alpha$

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Lời giải:

a)Ta  có: $\widehat{BOD}=\widehat{DOC}={180}^0-\alpha$

Ta có: $S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{BOC}+S_{AOB}+S_{DOC}$

b) Trong trường hợp AC ⊥ BD thì $\alpha ={90}^0\Rightarrow \sin \alpha =1$ nên $S=\frac{1}{2}xy$.