Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 5 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn : đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau :

a) Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số giờ đạp xe và số giờ tập tạ của bạn Mạnh trong một tuần (x ≥ 0, y ≥ 0)

Theo đề ta có:

+ Thời gian tập thể dục tối đã của Mạnh trong tuần tối đa là 12 giờ nên x + y ≤ 12

+ Lượng tiêu thụ calo không vượt quá 7000 calo một tuần nên 350x + 700y ≤ 7000 hay x + 2y ≤ 20

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 12\\ x+2y\le 20\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 12 hay x + y – 12 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + y – 12 = 0 đi qua hai điểm (12; 0) và (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 0 – 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 20 hay x + 2y – 20 ≤  0

Vẽ đường thẳng a: x + 2y - 20 = 0  đi qua hai điểm (20; 0) và (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 2.0 – 20 = - 20 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung.

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành.

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là miền tứ giác OADC với đỉnh O(0; 0); A(0; 10); D(4; 8); C(12; 0).

a) Gọi F là chi phí tập luyện của Mạnh trong 1 tuần (đơn vị: nghìn đồng), ta có:

F = 50y.

Các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): F= 50.0 = 0;

Tại A(0; 10): F = 50.10 = 500;

Tại D(4; 8): F = 50.8 = 400;

Tại C(12;0): F = 50.0 = 0.

F đạt giá trị nhỏ nhất F = 0 tại O(0; 0) và C(12;0)

Vậy để tiết kiệm chi phí tập luyện thì bạn Mạnh đạp xe 12 giờ, không tập tạ hoặc không tham gia tập thể dục.

b) Gọi H là số calo bạn Mạnh muốn tiêu thụ: H = 350x + 700y.

Các giá trị của biểu thức H tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): H= 350.0 + 700.0 = 0;

Tại A(0; 10): H = 350.0 + 700.10 = 7 000;

Tại D(4; 8): H = 350.4 + 700.8 = 7 000;

Tại C(12;0): H = 350.12 + 700.0 = 4 200;

H đạt giá trị lớn nhất H = 7000 tại A(0; 10) và D(4; 8).

Vậy để tiêu thụ lượng calo nhiều nhất Mạnh có thể tập tạ 10 giờ hoặc có thể đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ