Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân bằng tay để bàn trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số thiệp nhỏ và thiệp lớn bạn học sinh cần chuẩn bị.

Theo đề ta có:

+ Tổng thời gian để vẽ  x chiếc thiệp nhỏ và y chiếc thiệp lớn là : 2x+3y (giờ)

+ Học sinh chỉ có 30 giờ để vẽ nên 2x + 3y ≤ 30 hay 2x + 3y -30 ≤ 0

+ Hội chợ yêu cầu cần ít nhất 12 tấm thiệp nên x + y ≥ 12 hay x + y – 12 ≥ 0 

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}2x+3y\le 30\\ x+y\ge 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y -30 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: 2x + 3y - 30 = 0  đi qua hai điểm (15; 0); (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 2.0 + 3.0 - 30 = - 30 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y – 12 ≥ 0 

Vẽ đường thẳng a: x + y - 12 = 0  đi qua hai điểm (12; 0); (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 0 - 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là phần màu trắng với các đỉnh A(12; 0); B(15; 0); C(6; 6).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được khi bán thiệp, ta có: F = 10x + 20y.

Giá trị của F tại các đỉnh của miền nghiệm là:

Tại A(12; 0): F = 10.12 + 20.0 = 120;

Tại B(15; 0): F = 10.15 + 20.0 = 150;

Tại C(6; 6): F = 10.6 + 20.6 = 180;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại C(6; 6).

Vậy cần phải vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại lớn để đạt được doanh thu cao nhất.