Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất ?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế.

Theo đề ta có:

+ Vì x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế nên x ≥ 0  và y ≥ 0

+ Số gam bột cam dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 24g nên x + 4y ≤ 24

+ Số lít nước dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 9l nước nên x + y ≤ 9

+ Số gam đường dùng để pha chế nước cam loại A và loại B không vượt qua 210 g nên 30x + 10y ≤ 210 hay 3x + y ≤ 21

Từ đó ta có hệ bất phương trình mô ta các điều kiện ràng buộc như sau: $\left\{\begin{array}{l}x+4y\le 24\\ x+y\le 9\\ 3x+y\le 21\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 4y ≤ 24

Vẽ đường thẳng x + 4y - 24 = 0 đi qua hai điểm (0; 6); (4; 5).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + 4y - 24 = 0  và 0 + 4.0 - 24 = -24< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 9

Vẽ đường thẳng x + y - 9 = 0 đi qua hai điểm (0; 9); (9; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y - 9 = 0 và 0 + 0 – 9 = -9 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y ≤ 21

Vẽ đường thẳng 3x + y - 21 = 0 đi qua hai điểm (7; 0); (6; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 3x + y - 21 = 0 và 3.0 + 0 - 21 = -21< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với các đỉnh O(0; 0); A(0; 6); B(4; 5); C(6; 3); D(7; 0)

Gọi F là số tiền doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: F = 60x + 80y

Giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại O(0; 0): F = 60.0 + 80.0 = 0;

Tại A(0; 6): F = 60.0 + 80.6 = 480;

Tại B(4; 5): F = 60.4 + 80.5 = 640;

Tại C(6; 3): F = 60.3 + 3.30 = 270;

Tại D(7; 0): F = 60.7 + 0.80 = 420.

F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 tại B (4; 5).

Vậy cần phải pha chế 4 lít loại A và 5 lít loại B để đạt được doanh thu cao nhất.