Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí cacbon dioxide (CO₂) và 0,60 kg khí sulffur dioxide (SO₂), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO₂  và  0,20 kg SO₂. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (CO₂) của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

Lời giải:

a) Gọi x và y lần lượt là số lượng thùng thuốc trừ sâu loại A và B.

Theo đề ta có:

+ Quy định hạn chế sản lượng CO₂ của nhà máy tối đa là 75 kg mỗi ngày nên 0,25x + 0,5y ≤ 75 hay x + 2y ≤ 300

+ Quy định hạn chế sản lượng SO₂ của nhà máy tối đa là 90 kg mỗi ngày nên 0,6x + 0,2y ≤ 90 hay 3x + y ≤ 450

Do đó, ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x+2y\le 300\\ 3x+y\le 450\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 2y -300 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + 2y - 300 = 0 đi qua hai điểm (300; 0); (0; 150).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 2.0 - 300 = -300 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y - 450 ≤ 0

Vẽ đường thẳng a: 3x + y - 450 = 0 đi qua hai điểm (150; 0); (0; 450).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 3.0 + 0 - 450 = -450 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là miền tứ giác OADB với các đỉnh O(0; 0); A(0; 150); B(150; 0) và D(120;90).

b) Với x = 100 và y = 80 ta có:

+) 0,25.100 + 0,5.80 – 75 = – 10 < 0;

+) 0,6.100  + 0,2.80 – 90 = –14 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là hợp lí.

c) Với x  = 60 và y = 160 ta có:

+) 0,25.60 + 0,5.160 – 75 = 20 > 0;

+) 0,6.60  + 0,2.160 – 90 = –22 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp quy định.