Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau :

a) $\left\{\begin{array}{c}x+y-3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{c}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 4\\ x+y-5\le 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 3 ≥ 0

Vẽ đường thẳng x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 3 = 0 và 0 + 0 – 3 = -3 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả đường thẳng x + y – 3 = 0).

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành (chứa bờ Ox).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung (chứa bờ là Oy). 

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình: x – 2y < 0

Vẽ đường thẳng d₁: x – 2y = 0 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 1).

Xét điểm A(0; 1) ta thấy: A $\notin$ d₁ và 0 – 2.1 = – 2  < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm A (không kể bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 3y > -2 hay x + 3y +2 > 0

Vẽ đường thẳng d₂ : x + 3y + 2 = 0 đi qua hai điểm (0; $-\frac{2}{3}$) và (-2; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₂ và 0 + 3.0 + 2 = 2 > 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₂).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : y – x < 3 hay y – x – 3 <0

Vẽ đường thẳng d₃ : -x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (-3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₃ và 0 + 0 – 3 = -3 < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₃).

Miền màu trắng (không bị gạch chéo) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≥ 1

Vẽ đường thẳng d: x – 1 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (1; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$d và 0 - 1 = - 1 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả bờ d).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≤ 4

Vẽ đường thẳng d₁: x – 4 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (4; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 – 4 = - 4 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 5  ≤ 0

Vẽ đường thẳng d₂: x + y – 5  = 0 đi qua hai điểm (5; 0) và (0; 5).

Xét gốc toạ độ 0 (0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 + 0 – 5 = - 5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₂).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ:

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.