Giải bài tập Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 77 Toán 7 Tập 2:

Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù).

Để giếng chung khoan trong vườn cách đều ba ngôi nhà thì vị trí của giếng phải là giao của ba đường trung trực của tam giác.

Câu hỏi trang 77 Toán 7 Tập 2:

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?

Lời giải:

Vì đường trung trực của tam giác là đường trung trực của mỗi cạnh cả tam giác. Mà tam giác có ba cạnh nên có ba đường trung trực.

Hoạt động 1 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Vẽ tam giác ABC (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm không.

Lời giải:

Ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm.

Hoạt động 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38).

a) Tại sao OB = OC, OC = OA?

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của cạnh AB không?

Lời giải:

a) Do O nằm trên đường trung trực của cạnh BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực).

Do O nằm trên đường trung trực của cạnh CA nên OC = OA (tính chất đường trung trực).

b) Do OB = OC và OC = OA nên OA = OB.

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Luyện tập 1 trang 79 Toán 7 Tập 2:

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử tam giác đều ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G.

Do $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại A.

Theo kết quả của câu a, Ví dụ 1, trang 78, 79 ta có:

AM là đường trung tuyến của $∆$ABC nên AM là đường trung trực của cạnh BC.

Tương tự, ta cũng có:

• $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại B, do đó BN là đường trung trực của cạnh AC;

• $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại C, do đó CP là đường trung trực của cạnh AB.

Mà ba đường trung trực AM, BN và CP cắt nhau tại trọng tâm G.

Do đó G cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Vậy trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Vận dụng 1 trang 79 Toán 7 Tập 2:

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.

Khi đó đường thẳng nối hai trong ba ngôi nhà với nhau là cạnh của tam giác.

Giếng cách đều ba ngôi nhà tức giếng cách đều ba đỉnh của tam giác.

Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

Thử thách nhỏ trang 79 Toán 7 Tập 2:

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA = QB = QC.

Do QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB.

Do QB = QC nên Q nằm trên đường trung trực của BC.

Do QC = QA nên Q nằm trên đường trung trực của CA.

Do đó Q là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Câu hỏi trang 79 Toán 7 Tập 2:

Mỗi tam giác có mấy đường cao?

Lời giải:

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh xuống cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện.

Mà mỗi tam giác có ba đỉnh và mỗi đỉnh đối diện với một cạnh tương ứng nên mỗi tam giác có ba đường cao.

Hoạt động 3 trang 79 Toán 7 Tập 2:

Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.

Lời giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác ABC cùng đi qua một điểm.

Luyện tập 2 trang 81 Toán 7 Tập 2:

a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Lời giải:

a)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do DABC cân tại A nên AB = AC (tính chất tam giác cân)

Do đó A nằm trên đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC nên AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

Xét $∆$ABM và $∆$ACM có:

AB = AC (do $∆$ABC cân tại A),

AM là cạnh chung

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)

Nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Vậy đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

b)

Giả sử $∆$ABC đều có O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của $∆$ABC.

Hay AO, BO, CO lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, AC, AB.

Do $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại A.

Do đó theo câu a), ba đường trung trực AO, BO, CO của các cạnh BC, AC, AB lần lượt là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C của DABC.

Mà ba đường phân giác AO, BO, CO cắt nhau tại O nên O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

B. Bài tập

Bài 9.26 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

Lời giải:

Gọi I, J, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét DHBC có HI ⊥ BC, CJ ⊥ BH.

Mà HI cắt CJ tại A nên A là trực tâm của $∆$HBC.

Xét $∆$HCA có HJ ⊥ AC, CI ⊥ AH.

Mà HJ cắt CI tại B nên B là trực tâm của $∆$HCA.

Xét $∆$HAB có HK ⊥ AB, BI ⊥ AH.

Mà HK cắt BI tại C nên C là trực tâm của $∆$HAB.

Bài 9.27 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = 100^o và trực tâm H. Tính góc BHC.

Lời giải:

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{F\text{A}H}$ (2 góc đối đỉnh), $\widehat{DAC}=\widehat{EAH}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $\widehat{BA\text{D}}+\widehat{DAC}=\widehat{F\text{AH}}+\widehat{EAH}$ = 100°.

Xét $∆$FAH vuông tại F có $\widehat{FHA}+\widehat{F\text{A}H}$ = 90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{FHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}$.

Xét $∆$EAH vuông tại E: $\widehat{EHA}+\widehat{\text{EA}H}$ = 90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{EHA}=90°-\widehat{\text{EA}H}$.

Khi đó $\widehat{FHA}+\widehat{EHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}+90°-\widehat{E\text{A}H}$

Hay $\widehat{BHC}=180°-\left(\widehat{F\text{A}H}+\widehat{E\text{AH}}\right)$.

Do đó $\widehat{BHC}$ = 180° - 100° = 80°.

Vậy $\widehat{BHC}$ = 80°.

Bài 9.28 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Lời giải:

Giả sử O nằm trên cạnh BC của $∆$ABC, khi đó OA = OB = OC (do O cách đều ba đỉnh của tam giác).

Vì OA = OB nên $∆$OAB cân tại O.

Suy ra, $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (tính chất tam giác cân).

Vì OA = OC nên $∆$OAC cân tại O

Suy ra, $\widehat{OAC}=\widehat{OC\text{A}}$ (tính chất tam giác cân).

Khi đó $\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=\widehat{OBA}+\widehat{OC\text{A}}$ hay $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$.

Xét $∆$ABC ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{A}=180°$

Nên $\widehat{A}=180°:2=90°$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Bài 9.29 trang 81 Toán 7 Tập 2:

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

Lời giải:

a)

Để xác định bán kính của đường viền này ta thực hiện như sau:

Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền ngoài của chi tiết máy.

Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OA (hoặc OB hoặc OC) là bán kính của đường tròn.

b) Coi ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều ba đỉnh A, B, C nên M là giao điểm ba đường trung trực của $∆$ABC.

Vậy M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 9.30 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47).

Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm. Điểm này chính là điểm C.

Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm. Điểm này chính là điểm B.

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.