Giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 9 

Bài 9.36 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Lời giải:

Xét $∆$ADE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc ngoài của đỉnh D nên $\widehat{B\text{D}E}=\widehat{DA\text{E}}+\widehat{DE\text{A}}>\widehat{DA\text{E}}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù.

Xét $∆$BDE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Do đó, BE > DE (1)

Xét $∆$ABE có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}>\widehat{E\text{A}B}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét $∆$BEC có $\widehat{BEC}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Do đó, BC > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra, BC > DE.

Vậy DE < BC.

Bài 9.37 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.52).

a) So sánh $\widehat{A\text{D}E}$ và $\widehat{A\text{ED}}$.

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Lời giải:

a) Xét DABC có: AB > AC nên $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$

Xét $∆$ABD có AB = BD nên $∆$ABD cân tại B.

Suy ra, $\widehat{DAB}=\widehat{ADB}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ABC}$ là góc ngoài đỉnh B của $∆$ABD nên $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}+\text{}\widehat{ADB}=2\widehat{ADB}$

Xét $∆$ACE có AC = CE nên $∆$ACE cân tại C.

Suy ra, $\widehat{EAC}=\widehat{AEC}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có, $\widehat{ACB}$ là góc ngoài đỉnh C của $∆$ACE nên $\widehat{ACB}=\widehat{EAC}+\text{}\widehat{AEC}=2\widehat{AEC}$

Mà $\widehat{ACB}>\widehat{ABC}$ nên $2\widehat{AEC}>2\widehat{ADB}$ hay $\widehat{AEC}>\widehat{ADB}$

Do đó, $\widehat{AED}>\widehat{ADE}$

b) Xét $∆$ADE có $\widehat{A\text{ED}}>\widehat{A\text{D}E}$ nên  AD > AE.

Vậy AD > AE.

Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < $\frac{1}{2}$(AB + AC);

b) AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Lời giải:

a) Xét $∆$AIC vuông tại I có AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (1).

Xét $∆$AIB vuông tại I có AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có AB + AC > AI + AI hay AB + AC > 2AI

Suy ra AI < $\frac{1}{2}\left(AB+\text{}AC\right)$

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét $∆$ABM và $∆$DCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

 MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$DCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong $∆$ACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Bài 9.39 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE; tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

Lời giải:

Xét $∆$ABE có: C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của $∆$ABE.

Ta lại có D là điểm nằm trên BC sao cho BD = 2DC hay $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$

Suy ra $\frac{BD}{BD+DC}=\frac{2}{2+1}$ hay $\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$

Điểm D thuộc trung tuyến BC thỏa mãn $\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$ nên D là trọng tâm tam giác ABE.

Suy ra AD là đường trung tuyến của $∆$ABE.

Xét $∆$ABE có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên theo Ví dụ 1 phần Luyện tập chung, trang 82, ta có $∆$ABE cân tại A.

Vậy tam giác ABE cân tại A.

Bài 9.40 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh dài 30 cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.

Lời giải:

Đổi 1,2 m = 120 cm.

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Cạnh dài 30 cm là cạnh bên của tam giác cân.

Khi đó độ dài cạnh đáy là: 120 - 30 - 30 = 60 cm.

Ta thấy 30 + 30 = 60 nên bộ ba độ dài 30 cm, 30 cm, 60 cm không thể tạo thành một tam giác.

Trường hợp 2: Cạnh dài 30 cm là cạnh đáy của tam giác cân.

Khi đó độ dài hai cạnh bên là: (120 - 30) : 2 = 45 cm.

Ta thấy 45 < 45 + 30 nên bộ ba độ dài 30 cm, 45 cm, 45 cm là bộ ba độ dài của một tam giác.

Vậy để gấp được tam giác có ba cạnh dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, ta đánh dấu hai điểm ở giữa hai đầu mút đoạn dây, chia đoạn dây thành ba đoạn thẳng có độ dài 30 cm, 45 cm, 45 cm, trong đó đoạn dài 30 cm chứa một mút hoặc không chứa mút nào của đoạn dây như hình vẽ dưới đây.