Giải bài tập Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 25 Toán 7 Tập 2:

Độ cao H (mét) của một vật (so với mặt đất) khi ném lên từ một điểm trên mặt đất được biểu thị bởi biểu thức H = –5x² + 15x, trong đó x (giây) là thời gian tính từ thời điểm ném vật. Hỏi sau bao lâu kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Vật chạm đất khi H = 0.

Ta thấy đa thức H = –5x² + 15x có hệ số tự do bằng 0 nên có nghiệm x = 0.

Mặt khác, với x = 3 ta có: H(x) = –5 . 3² + 15 . 3 = –45 + 45 = 0.

Do đó x = 0 và x = 3 thì H = 0.

Mà x là thời gian tính từ thời điểm ném vật nên x > 0.

Suy ra x = 3.

Vậy sau 3 giây từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất.

Câu hỏi trang 25 Toán 7 Tập 2:

Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:

a) 2x⁶;

b) $-\frac{1}{5}$x²;

c) -8;

d) 3²x.

Lời giải:

a) Đơn thức 2x⁶ có hệ số bằng 2 và bậc bằng 6.

b) Đơn thức $-\frac{1}{5}$x² có hệ số bằng $-\frac{1}{5}$ và bậc bằng 2.

c) Đơn thức -8 có hệ số bằng -8 và bậc bằng 0.

d) Đơn thức 3²x có hệ số bằng 3² = 9 và bậc bằng 1.

Câu hỏi trang 26 Toán 7 Tập 2:

Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Lời giải:

Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc 5.

Chẳng hạn: x³ . x² = x³⁺² = x⁵.

Luyện tập 1 trang 26 Toán 7 Tập 2:

Tính:

a) 5x³ + x³;

b) $\frac{7}{4}$x⁵ - $\frac{3}{4}$x⁵;

c) (-0,25x²) . (8x³).

Lời giải:

a) 5x³ + x³ = (5 + 1)x³ = 6x³.

b) $\frac{7}{4}$x⁵ - $\frac{3}{4}$x⁵ = $\left(\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\right)$x⁵ = $\frac{4}{4}$x⁵ = x⁵.

c) (-0,25x²) . (8x³) = (-0,25 . 8) . (x² . x³) = -2 . x²⁺³ = -2x⁵.

Câu hỏi trang 26 Toán 7 Tập 2:

Mỗi số thực có phải là một đa thức không? Tại sao?

Lời giải:

Mỗi số thực là một đơn thức, mà một đơn thức cũng là một đa thức nên mỗi số thực là một đa thức.

Luyện tập 2 trang 26 Toán 7 Tập 2:

Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B = 2x⁴ - 3x² + x + 1.

Lời giải:

B = 2x⁴ - 3x² + x + 1

Các hạng tử của đa thức B là: 2x⁴; -3x²; x; 1.

Luyện tập 3 trang 27 Toán 7 Tập 2:

Thu gọn đa thức P = 2x³ - 5x² + 4x³ + 4x + 9 + x.

Lời giải:

P = 2x³ - 5x² + 4x³ + 4x + 9 + x

   = 2x³ + 4x³ - 5x² + 4x + x + 9

   = (2x³ + 4x³) - 5x² + (4x + x) + 9

   = (2 + 4)x³ - 5x² + (4 + 1)x + 9

   = 6x³ - 5x² + 5x + 9

Vậy P = 6x³ - 5x² + 5x + 9.

Luyện tập 4 trang 27 Toán 7 Tập 2:

Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) A = 3x - 4x⁴ + x³;

b) B = -2x³ - 5x² + 2x³ + 4x + x² - 5;

c) C = x⁵ - $\frac{1}{2}$x³ + $\frac{3}{4}$x - x⁵ + 6x² - 2.

Lời giải:

a) A = 3x - 4x⁴ + x³ = -4x⁴ + x³ + 3x

Vậy A = -4x⁴ + x³ + 3x.

b) B = -2x³ - 5x² + 2x³ + 4x + x² - 5

        = -2x³ + 2x³ - 5x² + x² + 4x - 5

        = (-2x³ + 2x³) + (- 5x² + x²) + 4x - 5

        = (-2 + 2)x³ + (-5 + 1)x² + 4x - 5

        = 0.x³ + (-4)x² + 4x - 5

        = -4x² + 4x - 5

Vậy B = -4x² + 4x - 5.

c) C = x⁵ - $\frac{1}{2}$x³ + $\frac{3}{4}$x - x⁵ + 6x² - 2

        = x⁵ - x⁵ -$\frac{1}{2}$x³ + 6x² + $\frac{3}{4}$x - 2

        = (x⁵ - x⁵) -$\frac{1}{2}$x³ + 6x² + $\frac{3}{4}$x - 2

        = -$\frac{1}{2}$x³ + 6x² + $\frac{3}{4}$x - 2

Vậy C = -$\frac{1}{2}$x³ + 6x² + $\frac{3}{4}$x - 2.

Hoạt động 1 trang 28 Toán 7 Tập 2:

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P.

Trong đa thức P, bậc của hạng tử 5x² là 2 (số mũ của x²). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Lời giải:

P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1

Đa thức P có các hạng tử là: -3x⁴; 5x²; -2x; 1.

Hạng tử -3x⁴ có bậc là 4.

Hạng tử 5x² có bậc là 2.

Hạng tử -2x có bậc là 1.

Hạng tử 1 có bậc là 0.

Hoạt động 2 trang 28 Toán 7 Tập 2:

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P.

Trong đa thức P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Lời giải:

Dựa vào HĐ1, ta thấy hạng tử -3x⁴ có bậc cao nhất trong đa thức P.

Hệ số của hạng tử -3x⁴ là -3, bậc của hạng tử -3x⁴ là 4.

Hoạt động 3 trang 28 Toán 7 Tập 2:

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P.

Trong đa thức P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Lời giải:

Dựa vào HĐ1, ta thấy hạng tử 1 có bậc bằng 0.

Câu hỏi trang 28 Toán 7 Tập 2:

Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Một số khác 0 là một đơn thức có bậc bằng 0.

Do đó một số khác 0 cũng là một đa thức có bậc bằng 0.

Luyện tập 5 trang 28 Toán 7 Tập 2:

Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x² - 2x + 1 - 3x⁴;

b) 1,5x² - 3,4x⁴ + 0,5x² - 1.

Lời giải:

a) 5x² - 2x + 1 - 3x⁴ = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1.

Ta thấy hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức là -3x⁴ nên bậc của đa thức trên bằng 4, hệ số cao nhất là -3.

Hạng tử bậc 0 là 1 nên hệ số tự do là 1.

b) 1,5x² - 3,4x⁴ + 0,5x² - 1

= -3,4x⁴ + (1,5x² + 0,5x²) - 1

= -3,4x⁴ + 2x² - 1

Trong dạng thu gọn của đa thức, hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức là -3,4x⁴ nên bậc của đa thức trên bằng 4, hệ số cao nhất là -3,4.

Hạng tử bậc 0 là -1 nên hệ số tự do là -1.

Hoạt động 4 trang 29 Toán 7 Tập 2:

Xét đa thức G(x) = x² - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy, ta có G(3) = 3² - 4 = 5.

Tính các giá trị G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).

Lời giải:

Với G(x) = x² - 4, ta có:

G(-2) = (-2)² - 4 = 4 - 4 = 0.

G(-1) = (-1)² - 4 = 1 - 4 = -3.

G(0) = 0² - 4 = 0 - 4 = -4.

G(1) = 1² - 4 = 1 - 4 = -3.

G(2) = 2² - 4 = 4 - 4 = 0.

Hoạt động 5 trang 29 Toán 7 Tập 2:

Xét đa thức G(x) = x² - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy ta có G(3) = 3² - 4 = 5.

Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0?

Lời giải:

Để G(x) = 0 thì x² - 4 = 0.

x² = 4

x² = 2² = (–2)²

Vậy x = 2 hoặc x = –2 thì G(x) bằng 0.

Luyện tập 6 trang 29 Toán 7 Tập 2:

1. Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x² - 3x - 2 tại x = -1; x = 0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x² + x.

Lời giải:

1. Xét đa thức F(x) = 2x² - 3x - 2

• Tại x = -1 ta có:

F(-1) = 2 . (-1)² - 3 . (-1) - 2 = 2 . 1 + 3 - 2 = 3.

• Tại x = 0 ta có:

F(0) = 2 . 0² - 3 . 0 - 2 = 0 - 0 - 2 = -2.

• Tại x = 1 ta có:

F(1) = 2 . 1² - 3 . 1 - 2 = 2 - 3 - 2 = -3.

• Tại x = 2 ta có:

F(2) = 2 . 2² - 3 . 2 - 2 = 2 . 4 – 6 – 2 = 8 - 6 - 2 = 0.

Do F(2) = 0 nên x = 2 là một nghiệm của đa thức F(x).

b) Đa thức E(x) = x² + x có hệ số tự do bằng 0 nên x = 0 là một nghiệm của đa thức E(x).

Mặt khác, E(–1) = (–1)² + (–1) = 1 + (–1) = 0.

Do đó x = –1 cũng là một nghiệm của đa thức E(x).

Vậy x = 0 và x = –1 là hai nghiệm của đa thức E(x).

Vận dụng trang 29 Toán 7 Tập 2:

Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x² + 15x.

b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

c) Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Lời giải:

a) Trong đa thức H(x), hạng tử có bậc cao nhất là -5x² nên bậc của đa thức H(x) bằng 2, hệ số cao nhất bằng -5

Đa thức H(x) không có hạng tử có bậc 0 nên hệ số tự do của đa thức H(x) bằng 0.

b) Đa thức H(x) có hệ số tự do bằng 0 nên x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x).

x là thời gian tính từ thời điểm ném vật nên tại x = 0 tức chưa ném vật thì vật vẫn nằm trên mặt đất.

c) Tại x = 1 thì H(1) = -5 . 1² + 15 . 1 = -5 + 15 = 10.

Tại x = 2 thì H(2) = -5 . 2² + 15 . 2 = -5 . 4 + 30 = –20 + 30 = 10.

Tại x = 3 thì H(3) = -5 . 3² + 15 . 3 = -5 . 9 + 45 = –45 + 45 = 0.

Đa thức H(x) = 0 tại x = 3 nên x = 3 là nghiệm của đa thức H(x).

Ý nghĩa nghiệm x = 3: vật sẽ rơi trở lại mặt đất sau 3 giây kể từ thời điểm ném vật.

B. Bài tập

Bài 7.5 trang 30 Toán 7 Tập 2:

a) Tính $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right).\left(-4x^2\right)$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^3$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Lời giải:

a) $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right).\left(-4x^2\right)=\left[\frac{1}{2}.(-4)\right].\left(x^3.x^2\right)=-2x^{3+2}=-2x^5$.

Hệ số của đơn thức trên là -2.

Bậc của đơn thức trên là 5.

b) $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^3=\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)x^3=\frac{-4}{2}{x}^3=-2x^3$.

Hệ số của đơn thức trên là -2.

Bậc của đơn thức trên là 3.

Bài 7.6 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức:

A(x) = x³ + $\frac{3}{2}$x - 7x⁴ + $\frac{1}{2}$x - 4x² + 9 và B(x) = x⁵ - 3x² + 8x⁴ - 5x² - x⁵ + x - 7.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Lời giải:

a) A(x) = x³ + $\frac{3}{2}$x - 7x⁴ + $\frac{1}{2}$x - 4x² + 9

             = -7x⁴ + x³ - 4x² + $\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x\right)$ + 9

             = -7x⁴ + x³ - 4x² + 2x + 9.

B(x) = x⁵ - 3x² + 8x⁴ - 5x² - x⁵ + x - 7

        = (x⁵ - x⁵) + 8x⁴ + (-3x² - 5x²) + x - 7

        = 8x⁴ + (-8)x² + x - 7

        = 8x⁴ - 8x² + x - 7.

b)

• Trong đa thức A(x), hạng tử có bậc cao nhất là -7x⁴ nên bậc của đa thức A(x) là 4, hệ số cao nhất là -7.

Hạng tử có bậc bằng 0 của đa thức A(x) là 9 nên hệ số tự do của đa thức A(x) là 9.

• Trong đa thức B(x), hạng tử có bậc cao nhất là 8x⁴ nên bậc của đa thức B(x) là 4, hệ số cao nhất là 8.

Hạng tử có bậc bằng 0 của đa thức B(x) là -7 nên hệ số tự do của đa thức B(x) là -7.

Bài 7.7 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức:

P(x) = 5x³ + 2x⁴ - x² + 3x² - x³ - 2x⁴ - 4x³ và Q(x) = 3x - 4x³ + 8x² - 5x + 4x³ + 5.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(-1) và Q(0).

Lời giải:

a) P(x) = 5x³ + 2x⁴ - x² + 3x² - x³ - 2x⁴ - 4x³

            = (2x⁴ - 2x⁴) + (5x³ - x³ - 4x³) + (-x² + 3x²)

            = 2x².

Q(x) = 3x - 4x³ + 8x² - 5x + 4x³ + 5

         = (-4x³ + 4x³) + 8x² + (3x - 5x) + 5

         = 8x² + (-2x) + 5

         = 8x² - 2x + 5.

b) • Xét P(x) = 2x² ta có:

P(1) = 2 . 1² = 2;

P(0) = 2 . 0² = 0.

• Xét Q(x) = 8x² - 2x + 5 ta có:

Q(-1) = 8 . (-1)² - 2 . (-1) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15;

Q(0) = 8 . 0² – 2 . 0 + 5 = 5.

Bài 7.8 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m³ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m³ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (m³), biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m³ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Lời giải:

Trong x giờ, lượng nước máy bơm thứ nhất bơm được là 22x (m³).

Trong x giờ, lượng nước máy bơm thứ hai bơm được là 16x (m³).

Trong 0,5 giờ, lượng nước máy bơm thứ hai bơm được là 16 . 0,5 = 8 (m³).

Lượng nước bơm được khi cả hai máy chạy trong x giờ rồi máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ là 22x + 16x + 8 = 38x + 8 (m³).

Do trước khi bơm thì trong bể có 1,5 m³ nên đa thức biểu thị dung tích của bể là

1,5 + 38x + 8 = 38x + (1,5 + 8) = 38x + 9,5 (m³).

Vậy đa thức biểu thị dung tích của bể là 38x + 9,5 (m³).

Trong đa thức trên, hạng tử 38x có bậc cao nhất nên hệ số cao nhất là 38.

Hạng tử có bậc bằng 0 là 9,5 nên hệ số tự do là 9,5.

Bài 7.9 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• Bậc của F(x) bằng 3.

• Hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2.

• Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Lời giải:

Do bậc của F(x) bằng 3 và hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 nên ta có hạng tử -6x³.

Do hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2 nên ta có hai hạng tử là 2x² và 2x.

Do hệ số tự do bằng 3 nên ta có hạng tử 3.

Vậy đa thức cần tìm là F(x) = -6x³ + 2x² + 2x + 3.

Bài 7.10 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Kiểm tra xem:

a) x = $-\frac{1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + $\frac{1}{2}$ không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x² + x - 2?

Lời giải:

a) Thay x = $-\frac{1}{8}$ vào đa thức P(x) ta được

$P\left(-\frac{1}{8}\right)=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{2}=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}=0$

Vậy x = $-\frac{1}{8}$ là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + $\frac{1}{2}$.

b) • Thay x = 1 vào đa thức Q(x) ta được

Q(1) = 1² + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.

Do đó x = 1 là nghiệm của Q(x).

• Thay x = -1 vào đa thức Q(x) ta được

Q(-1) = (-1)² + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2.

Do đó x = -1 không phải nghiệm của đa thức Q(x).

• Thay x = 2 vào đa thức Q(x) ta được

Q(2) = 2² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4.

Do đó x = 2 không phải nghiệm của đa thức Q(x).

Vậy trong ba số 1; -1 và 2 thì số 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = x² + x - 2.

Bài 7.11 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng) hết tổng số tiền là 37 + x (nghìn đồng).

Số tiền Quỳnh còn lại là: 100 - (37 + x) = 100 - 37 - x = 63 - x (nghìn đồng).

Vậy đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại là 63 - x (nghìn đồng).

Đa thức 63 – x có hạng tử có bậc cao nhất là -x nên bậc của đa thức trên bằng 1.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho nên 63 - x = 0.

Do đó x = 63.

Vậy giá tiền của cuốn sách là 63 nghìn đồng.