Giải bài tập Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến 

A. Các câu hỏi trong bài

Câu hỏi trang 32 Toán 7 Tập 2:

Tìm tổng của hai đa thức: x³ - 5x + 2 và x³ - x² + 6x - 4.

Lời giải:

Ta có:

(x³ - 5x + 2) + (x³ - x² + 6x - 4)

= x³ - 5x + 2 + x³ - x² + 6x - 4

= (x³ + x³) - x² + (- 5x + 6x) + (2 - 4)

= 2x³ - x² + x + (-2)

= 2x³ - x² + x - 2.

Luyện tập 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính tổng M + N (trình bày theo hai cách).

Lời giải:

Cách 1. Đặt tính cộng:

Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc:

M + N = (0,5x⁴ – 4x³ + 2x – 2,5) + (2x³ + x² + 1,5)

           = 0,5x⁴ – 4x³ + 2x – 2,5 + 2x³ + x² + 1,5

           = 0,5x⁴ + (– 4x³ + 2x³) + x² + 2x + (– 2,5 + 1,5)

           = 0,5x⁴ + (– 2x³) + x² + 2x + (–1)

           = 0,5x⁴ – 2x³ + x² + 2x – 1.

Vậy M + N = 0,5x⁴ - 2x³ + x² + 2x - 1.

Vận dụng 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:

A = 2x³ - 5x² + x - 7;

B = x² - 2x + 6;

C = -x³ + 4x² - 1.

Lời giải:

Ta có: A + B + C = (A + B) + C

Đặt tính A + B như sau:

Đặt tính (A + B) + C như sau:

Vậy A + B + C = x³ - x - 2.

Hoạt động 1 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Lời giải:

P – Q = (x⁴ + 3x³ – 5x² + 7x) – (–x³ + 4x² – 2x + 1)

          = x⁴ + 3x³ – 5x² + 7x + x³ – 4x² + 2x – 1

          = x⁴ + (3x³ + x³) + (– 5x² – 4x²) + (7x + 2x) – 1

          = x⁴ + 4x³ + (– 9x²) + 9x – 1

          = x⁴+ 4x³ – 9x² + 9x – 1.

Vậy P – Q = x⁴ + 4x³ – 9x² + 9x – 1.

Hoạt động 2 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức Q dưới đa thức P sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.

Lời giải:

Đặt tính trừ P - Q như sau:

Vậy P – Q = x⁴ + 4x³ – 9x² + 9x – 1.

Luyện tập 2 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức:

M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính hiệu M - N (trình bày theo hai cách).

Lời giải:

Cách 1. Đặt tính trừ:

Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

M - N = (0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5) - (2x³ + x² + 1,5)

           = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 - 2x³ - x² - 1,5

           = 0,5x⁴ + (-4x³ - 2x³) - x² + 2x + (-2,5 - 1,5)

           = 0,5x⁴ + (-6x³) - x² + 2x + (-4)

           = 0,5x⁴ - 6x³ - x² + 2x - 4

Vậy M - N = 0,5x⁴ - 6x³ - x² + 2x - 4.

Vận dụng 2 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức A = x⁴ - 3x² - 2x + 1. Tìm các đa thức B và C sao cho:

A + B = 2x⁵ + 5x³ - 2;

A - C = x³.

Lời giải:

Do A + B = 2x⁵ + 5x³ - 2 nên B = 2x⁵ + 5x³ - 2 - A

B = 2x⁵ + 5x³ - 2 - (x⁴ - 3x² - 2x + 1)

    = 2x⁵ + 5x³ - 2 - x⁴ + 3x² + 2x - 1

    = 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x + (-2 - 1)

    = 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x + (-3)

    = 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x -3

Do A - C = x³ nên C = A - x³

C = x⁴ - 3x² - 2x + 1 - x³

    = x⁴ - x³ - 3x² - 2x + 1

Vậy B = 2x⁵ - x⁴ + 5x³ + 3x² + 2x -3 và C = x⁴ - x³ - 3x² - 2x + 1.

B. Bài tập

Bài 7.12 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

x² - 3x + 2 và 4x³ - x² + x - 1.

Lời giải:

Ta có tổng của hai đa thức trên là:

(x² - 3x + 2) + (4x³ - x² + x - 1)

= x² - 3x + 2 + 4x³ - x² + x - 1

= 4x³ + (x² - x²) + (-3x + x) + (2 - 1)

= 4x³ + (-2x) + 1

= 4x³ - 2x + 1.

Bài 7.13 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8).

Lời giải:

Đặt tính trừ như sau:

Vậy (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8) = - x³ - 8x - 6.

Bài 7.14 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức A = 6x⁴ - 4x³ + x - $\frac{1}{3}$ và B = -3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + $\frac{2}{3}.$

Tính A + B và A - B.

Lời giải:

Đặt tính cộng A + B như sau:

Đặt tính trừ A – B như sau:

Vậy A + B = 3x⁴ - 6x³ - 5x² + 2x + $\frac{1}{3}$ và A - B = 9x⁴ - 2x³ + 5x² - 1.

Bài 7.15 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Cho các đa thức A = 3x⁴ - 2x³ - x + 1; B = -2x³ + 4x² + 5x và C = -3x⁴ + 2x² + 5.

Tính A + B + C; A - B + C và A - B - C.

Lời giải:

Đặt tính A + B + C như sau:

Đặt tính A – B như sau:

Do đó A – B = 3x⁴ – 4x² – 6x + 1.

Ta có A – B + C = (A – B) + C, ta đặt tính (A – B) + C như sau:

Ta có A – B – C = (A – B) – C, ta đặt tính (A – B) – C như sau:

Vậy A + B + C = -4x³ + 6x² + 4x + 6;

        A - B + C = -2x² - 6x + 6;

        A - B - C = 6x⁴ - 6x² - 6x - 4.

Bài 7.16 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua x cuốn sách khoa học, x + 8 cuốn sách tham khảo và x + 5 cuốn truyện tranh.

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Lời giải:

a) Vì một cuốn sách khoa học giá 21 500 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x cuốn sách khoa học là 21 500x (đồng).

Vì một cuốn sách tham khảo giá 12 500 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x + 8 cuốn  sách tham khảo là 12 500(x + 8) (đồng).

Vì một cuốn truyện tranh giá 15 000 đồng nên số tiền Nam phải trả để mua x + 5 cuốn  truyện tranh là 15 000(x + 5) (đồng).

b) Tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó là:

21 500x + 12 500(x + 8) + 15 000(x + 5)

= 21 500x + 12 500x + 12 500 . 8 + 15 000x + 15 000 . 5

= (21 500x + 12 500x + 15 000x) + 100 000 + 75 000

= 49 000x + 175 000 (đồng).

Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả là 49 000x + 175 000 (đồng).

Bài 7.17 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 65 m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là x mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến x):

a) Biểu thị diện tích của bể bơi.

b) Biểu thị diện tích mảnh đất.

c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Lời giải:

a) Chiều rộng của bể bơi là x (m);

Do chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài của bể bơi là 3x (m).

Diện tích của bể bơi là 3x . x = 3x² (m²).

b) Chiều rộng của mảnh đất là: 4 + x + 5 = x + 9 (m).

Diện tích mảnh đất là: 65(x + 9) (m²).

c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi bằng diện tích mảnh đất trừ đi diện tích bể bơi.

Diện tích phần đất xung quanh bể bơi là:

65(x + 9) - 3x² = 65x + 65 . 9 - 3x² = -3x² + 65x + 585 (m²).