Giải bài tập Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Video giải bài tập Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Mở đầu 

Mở đầu trang 75 Toán 7 Tập 1: Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau.

Bạn Vuông: Tớ thấy bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, vì sao vậy nhỉ?

Bạn Tròn: Đấy là do hai chiếc cột cao bằng nhau đấy!

Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình ảnh hai chiếc cột dựng thẳng đứng cao bằng nhau và tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc bằng nhau được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AC = A'C' (hai góc tương ứng).

Do đó khi tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột bằng nhau các góc bằng nhau thì hai chiếc bóng của hai chiếc cột đó bằng nhau.

Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. 

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

HĐ 1 trang 75 Toán 7 Tập 1: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau:

AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45).

Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên $\widehat{A}=90°;$ 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' (theo giả thiết) nên $\widehat{A^{\text{'}}}=90°;$ 

Do đó $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}\left(=90°\right).$ 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (chứng minh trên);

AC = A'C' (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$(c.g.c). 

HĐ 2 trang 76 Toán 7 Tập 1: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại đỉnh A') có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A'B', $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên $\widehat{A}=90°;$ 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' (theo giả thiết) nên $\widehat{A^{\text{'}}}=90°.$ 

Do đó $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}\left(=90°\right).$ 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (chứng minh trên);

AB = A'B' (theo giả thiết);

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g.c.g). 

Luyện tập 1 trang 76 Toán 7 Tập 1: Quay trở lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Lời giải:

Hình ảnh hai chiếc cột dựng thẳng đứng cao bằng nhau và tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc bằng nhau được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AC = A'C' (hai góc tương ứng).

Do đó khi tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột bằng nhau các góc bằng nhau thì hai chiếc bóng của hai chiếc cột đó bằng nhau.

Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. 

HĐ 3 trang 76 Toán 7 Tập 1: Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B'C' và các góc B, B'. Khi đó AC, A'C' mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’  bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Lời giải:

Hình ảnh hai con dốc trong đề bài được mô tả bởi hình vẽ dưới đây:

+) Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=90°.$ Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}.$ 

Tam giác A'B'C' vuông tại A' nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Do đó $\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=90°.$ Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}}=90°-\widehat{B^{\text{'}}}.$ 

Mà $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

Do đó $90°-\widehat{B}=90°-\widehat{B^{\text{'}}}$.

Suy ra $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$ 

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết);

BC = B'C' (theo giả thiết);

$\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g.c.g).

b) Từ $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (chứng minh câu a) suy ra AC = A'C' (hai cạnh tương ứng).

Vậy độ cao của hai con dốc đó bằng nhau. 

Câu hỏi trang 77 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Lời giải:

+) Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác XYZ (vuông tại X) có:

AC = XZ (theo giả thiết);

$\widehat{C}=\widehat{Z}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta XYZ$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

+) Xét tam giác DEF (vuông tại D) và tam giác GHK (vuông tại G) có:

EF = HK (theo giả thiết);

$\widehat{F}=\widehat{K}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta DEF=\Delta GHK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

+) Xét tam giác MNP (vuông tại M) và tam giác RTS (vuông tại R) có:

MN = RT (theo giả thiết);

MP = RS (theo giả thiết).

Vậy $\Delta DEF=\Delta GHK$ (hai cạnh góc vuông). 

Luyện tập 2 trang 77 Toán 7 Tập 1: Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Lời giải:

Tia Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Hay $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$.

Vì $MA\perp \text{Ox}$ tại A nên $\widehat{A}=90°;$ $\text{MB}\perp Oy$ tại B nên $\widehat{B}=90°$.

Do đó tam giác OAM vuông tại A và tam giác OBM vuông tại B.

Xét tam giác OAM (vuông tại A) và tam giác OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung;

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta OAM=\Delta OBM$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

HĐ 4 trang 78 Toán 7 Tập 1: Vẽ tam giác vuông ABC có $\widehat{A}=90°,$ AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

- Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm ta được hình vẽ dưới đây:

Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm, cung tròn cắt tia Ax tại điểm C như hình dưới đây

Bước 3. Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC như hình vẽ sau:

HĐ 5 trang 77 Toán 7 Tập 1: Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có $\widehat{A^{\text{'}}}=90°,$ A'B' = 3 cm, B'C' = 5 cm.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không.

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Lời giải:

Thực hiện tương tự như Hoạt động 4, ta vẽ được tam giác A'B'C' thỏa mãn yêu cầu.

Ta có hình vẽ:

a) Dùng thước thẳng có vạch chia để đo độ dài hai đoạn thẳng AC và A'C' ta được:

AC = 4 cm, A'C' = 4 cm.

Do đó AC = A'C'.

b) Hai tam giác ABC (vuông tại A) và A'B'C' (vuông tại A') có:

AB = A'B' (= 3 cm); AC = A'C' (= 4 cm).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (hai cạnh góc vuông).  

Câu hỏi trang 78 Toán 7 Tập 1:

Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Lời giải:

+) $\Delta ABC=\Delta GHK$ 

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác GHK (vuông tại G) có:

AB = GH, BC = HK.

Vậy $\Delta ABC=\Delta GHK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) $\Delta DEF=\Delta MNP$ 

Xét tam giác DEF (vuông tại D) và tam giác MNP (vuông tại M) có:

DF = MP, EF = NP.

Vậy $\Delta DEF=\Delta MNP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 

Luyện tập 3 trang 79 Toán 7 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Lời giải:

Ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên ta có OA = OB = OC.

+) $\Delta OAP=\Delta OBP.$ 

Xét tam giác OAP (vuông tại P) và tam giác OBP (vuông tại P) có:

OA = OB (chứng minh trên);

OP là cạnh chung.

Vậy $\Delta OAP=\Delta OBP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) $\Delta OBM=\Delta OCM$.

Xét tam giác OBM (vuông tại M) và tam giác OCM (vuông tại M) có:

OB = OC (chứng minh trên);

OM là cạnh chung.

Vậy $\Delta OBM=\Delta OCM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+) $\Delta OAN=\Delta OCN$.

Xét tam giác OAN (vuông tại N) và tam giác OCN (vuông tại N) có:

OA = OC (chứng minh trên);

ON là cạnh chung.

Vậy $\Delta OAN=\Delta OCN$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 

Thử thách nhỏ trang 79 Toán 7 Tập 1: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B'H' như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Hai chiếc thang dài như nhau dựa vào bức tường với cùng độ cao được mô tả dưới hình vẽ sau:

Xét tam giác ABH (vuông tại H) và tam giác B'A'H' (vuông tại H') có:

AB = A'B' (theo giả thiết);

BH = B'H' (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABH=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{BAH}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}$. 

Bài tập

Bài 4.20 trang 79 Toán 7 Tập 1:

Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC (vuông tại C) và tam giác ADC (vuông tại C) có:

AC là cạnh chung, $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta ADC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

b)

Xét tam giác EGH (vuông tại E) và tam giác FHG (vuông tại F) có:

EH = FG (theo giả thiết), GH là cạnh chung.

Vậy $\Delta EGH=\Delta FHG$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c)

Xét tam giác MNP(vuông tại M) và tam giác MQK (vuông tại M) có:

NP = QK (theo giả thiết), $\widehat{MPN}=\widehat{MKQ}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta MNP=\Delta MQK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

d)

Xét tam giác SVT (vuông tại S) và tam giác TUS (vuông tại T) có:

SV = TU (theo giả thiết); ST là cạnh chung.

Vậy $\Delta SVT=\Delta TUS$ (hai cạnh góc vuông). 

Bài 4.21 trang 79 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 4.56, biết AB = CD, $\widehat{BAC}=\widehat{B\text{D}C}=90°.$ Chứng minh rằng $\Delta ABE=\Delta DCE.$

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Theo giả thiết $\widehat{BAC}=\widehat{B\text{D}C}=90°$ ta có tam giác ABE vuông tại A và tam giác DCE vuông tại D.

Tam giác ABE vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Tức là $\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90°$ suy ra $\widehat{ABE}=90°-\widehat{AEB}.$

Tam giác DCE vuông tại D nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau.

Tức là $\widehat{DCE}+\widehat{DEC}=90°$ suy ra $\widehat{DCE}=90°-\widehat{DEC}$.

Mà $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $90°-\widehat{AEB}=90°-\widehat{DEC}$ hay $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$.

Xét tam giác ABE (vuông tại A) và tam giác DCE (vuông tại D) có:

AB = DC (theo giả thiết);

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$(chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABE=\Delta DCE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Bài 4.22 trang 79 Toán 7 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Chứng minh rằng $\Delta ABM=\Delta DCM.$

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

ABCD là hình chữ nhật (theo giả thiết) nên $\widehat{B}=\widehat{C}=90°$ và AB = CD.

Do đó tam giác ABM vuông tại B và tam giác DCM vuông tại C.

M là trung điểm cạnh BC nên MB = MC (định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng).

Xét tam giác ABM (vuông tại B) và tam giác DCM (vuông tại C) có:

AB = DC (chứng minh trên);

MB = MC (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABM=\Delta DCM$(hai cạnh góc vuông).