Giải bài tập Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến 

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 39 Toán 7 Tập 2:

Bài toán: Tìm đa thức P sao cho A = B . P, trong đó

A = 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 và B = x² - 2.

Tròn: “Mình nghĩ mãi là chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?”

Vuông: “Ừ nhỉ! Nếu A và B là hai số thì chỉ việc lấy A chia cho B là xong nhưng A và B lại là hai đa thức”.

Anh Pi: “Cũng thế thôi các em ạ. Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức”.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

2x⁴ : x² = 2x².

Bước 2: Lấy A trừ đi tích B . 2x² ta được dư thứ nhất là -3x³ + x² + 6x - 2.

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x³) : x² = -3x.

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B . (-3x) ta được dư thứ hai là x² - 2.

Bước 5: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x² : x² = 1.

Bước 6: Lấy dư thứ hai trừ đi tích B . 1 ta được dư thứ ba là 0.

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x² - 3x + 1.

Hoạt động 1 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:

a) 12x³ : 4x; b) (-2x⁴) : x⁴; c) 2x⁵ : 5x².

Lời giải:

a) 12x³ : 4x =$\frac{12x^3}{4x}=3x^2$.

b) (-2x⁴) : x⁴ = $\frac{-2x^4}{x^4}=-2$.

c) 2x⁵ : 5x² =$\frac{2x^5}{5x^2}=\frac{2}{5}{x}^3$.

Hoạt động 2 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Giả sử x ≠ 0. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Gọi hai lũy thừa của x lần lượt là x^m và xⁿ (m, n ∈ ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x là: x^m : xⁿ = x^m-n.

Để x^m-n là lũy thừa của x với số mũ nguyên dương thì m - n > 0 hay m > n.

Do đó m ∈ ℕ, n ∈ ℕ sao cho m > n.

b) Gọi hai lũy thừa của x cùng bậc là x^m và x^m (m ∈ ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x cùng bậc là: x^m : x^m = 1.

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1.

Luyện tập 1 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia sau:

a) 3x⁷ : $\frac{1}{2}$x⁴; b) (-2x) : x; c) 0,25x⁵ : (-5x²).

Lời giải:

a) 3x⁷ : $\frac{1}{2}$x⁴ = $\left(3:\frac{1}{2}\right)$ . (x⁷ : x⁴) = 3 . 2 . x^7-4 = 6x³.

b) (-2x) : x = -2. (x : x) = -2.

c) 0,25x⁵ : (-5x²) = [0,25 : (-5)]. (x⁵ : x²) = - 0,05x³.

Câu hỏi trang 41 Toán 7 Tập 2:

Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x² - 5x + 1, nghĩa là xảy ra:

A = B . (2x² - 5x + 1).

Lời giải:

Ta có B . (2x² - 5x + 1)

= (x² - 4x - 3) . (2x² - 5x + 1)

= x² . (2x² - 5x + 1) + (-4x) . (2x² - 5x + 1) – 3 . (2x² - 5x + 1)

= (x² . 2x² – x² . 5x + x² . 1) + [(–4x) . 2x² – (–4x) . 5x + (–4x) . 1]

        – (3 . 2x² – 3 . 5x + 3 . 1)

= (2x⁴ – 5x³ + x²) + (– 8x³ + 20x² – 4x) – (6x² – 15x + 3)

= 2x⁴ – 5x³ + x² – 8x³ + 20x² – 4x – 6x² + 15x – 3

= 2x⁴ + (– 5x³ – 8x³) + (x² + 20x² – 6x²) + (– 4x + 15x) – 3

= 2x⁴ - 13x³ + 15x² + 11x - 3

= A.

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x² - 5x + 1.

Luyện tập 2 trang 41 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia:

a) (-x⁶ + 5x⁴ - 2x³) : 0,5x².

b) (9x² - 4) : (3x + 2).

Lời giải:

a) (-x⁶ + 5x⁴ - 2x³) : 0,5x²

= (-x⁶ : 0,5x²) + (5x⁴ : 0,5x²) + [(-2x³) : 0,5x²]

= (-1 : 0,5) . (x⁶ : x²) + (5 : 0,5) . (x⁴ : x²) + (-2 : 0,5) . (x³ : x²)

= – 2x⁴ + 10x² – 4x

b) Ta đặt tính chia như sau:

Vậy (9x² - 4) : (3x + 2) = 3x - 2.

Vận dụng trang 41 Toán 7 Tập 2:

Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

2x⁴ : x² = 2x².

Bước 2: Lấy A trừ đi tích B . 2x² ta được dư thứ nhất là -3x³ + x² + 6x - 2.

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x³) : x² = -3x.

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B . (-3x) ta được dư thứ hai là x² - 2.

Bước 5: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x² : x² = 1.

Bước 6: Lấy dư thứ hai trừ đi tích B . 1 ta được dư thứ ba là 0.

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x² - 3x + 1.

Hoạt động 3 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x³ - 3x² - x + 7 cho đa thức E = x² + 1 được viết gọn như sau:

Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức D chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức E.

5x³ : x² = 5x.

Bước 2. Lấy D trừ đi tích E . 5x ta được dư thứ nhất là -3x² - 6x + 7.

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức E.

-3x² : x² = -3.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E . (-3) ta được dư thứ hai là -6x + 10.

Bước 5. Đa thức -6x + 10 có bậc 1, đa thức E có bậc 2 nên phép chia dừng.

Hoạt động 4 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x³ - 3x² - x + 7 cho đa thức E = x² + 1 được viết gọn như sau:

Kí hiệu dư thứ hai là G = -6x + 10. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Lời giải:

Để thực hiện phép chia thì bậc của đa thức bị chia phải lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia.

Ta thấy bậc của đa thức dư G bằng 1, bậc của đa thức chia E bằng 2.

Do 1 < 2 nên phép chia không thể tiếp tục.

Hoạt động 8 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x³ - 3x² - x + 7 cho đa thức E = x² + 1 được viết gọn như sau:

Hãy kiểm tra lại đẳng thức: D = E . (5x - 3) + G.

Lời giải:

Ta có E . (5x - 3) + G

= (x² + 1) . (5x - 3) + (-6x + 10)

= x² . (5x - 3) + 1 . (5x - 3) - 6x + 10

= (x² . 5x – 3 . x²) + (1 . 5x – 1 . 3) – 6x + 10

= (5x³ – 3x²) + (5x – 3) – 6x + 10

= 5x³ - 3x² + 5x - 3 - 6x + 10

= 5x³ - 3x² + (5x - 6x) + (-3 + 10)

= 5x³ - 3x² - x + 7

= D.

Vậy D = E . (5x - 3) + G.

Luyện tập 3 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A = 3x⁴ - 6x - 5 cho đa thức

B = x² + 3x - 1 rồi viết A dưới dạng A = B . Q + R.

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta được:

Do đó dư R bằng -105x + 25; thương Q bằng 3x² - 9x + 30.

Vậy 3x⁴ - 6x - 5 = (x² + 3x - 1) . (3x² - 9x + 30) - 105x + 25.

Thử thách nhỏ trang 42 Toán 7 Tập 2:

Tròn: “Đố Vuông tìm được dư trong phép chia x³ - 3x² + x - 1 cho x² - 3x”.

Vuông: “Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là x - 1”.

Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Lời giải:

Ta có: x³ - 3x² + x - 1 = (x³ - 3x²) + (x - 1) = x(x² - 3x) + (x – 1).

Đa thức x³ - 3x² chia cho đa thức x² - 3x được kết quả là x, dư 0.

Nên dư của phép chia đa thức x³ - 3x² + x - 1 cho đa thức x² - 3x là dư của phép chia đa thức x - 1 cho đa thức x² - 3x.

Bậc của đa thức x - 1 là 1, bậc của đa thức x² - 3x là 2 nên không thể thực hiện phép chia.

Do đó dư của phép chia x³ - 3x² + x - 1 cho x² - 3x bằng x - 1.

B. Bài tập

Bài 7.30 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Tính:

a) 8x⁵ : 4x³; b) 120x⁷ : (-24x⁵);

c) $\frac{3}{4}$(-x)³ : $\frac{1}{8}$x d) -3,72x⁴ : (-4x²).

Lời giải:

a) 8x⁵ : 4x³ = (8 : 4) . (x⁵ : x³) = 2x².

b) 120x⁷ : (-24x⁵) = [120 : (-24)] . (x⁷ : x⁵) = -5x².

c) $\frac{3}{4}$(-x)³ : $\frac{1}{8}$x = $\frac{3}{4}$. (-x³) : $\frac{1}{8}$x = $\left(\frac{-3}{4}:\frac{1}{8}\right)$ . (x³ : x) = $\left(\frac{-3}{4}.8\right)$x^3-1 = - 6x².

d) -3,72x⁴ : (-4x²) = [(-3,72) : (-4)] . (x⁴ : x²) = 0,93x².

Bài 7.31 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia đa thức sau:

a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x);

b) (-2x⁵ - 4x³ + 3x²) : 2x².

Lời giải:

a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x)

= (-5x³) : (-5x) + 15x² : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5) : (-5)] . (x³ : x) + [15 : (-5)] . (x² : x) + [18 : (-5)] . (x : x)

= x² + (-3)x + (– 3,6)

= x² - 3x - 3,6

b) (-2x⁵ - 4x³ + 3x²) : 2x²

= (-2x⁵) : 2x² + (-4x³) : 2x² + 3x² : 2x²

= (-2 : 2) . (x⁵ : x²) + (-4 : 2) . (x³ : x²) + (3 : 2) . (x² : x²)

= -x³ + (-2)x + 1,5

= -x³ - 2x + 1,5

Bài 7.32 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:

a) (6x³ - 2x² - 9x + 3) : (3x - 1);

b) (4x⁴ + 14x³ - 21x - 9) : (2x² - 3).

Lời giải:

a) Đặt tính chia như sau:

Vậy (6x³ - 2x² - 9x + 3) : (3x - 1) = 2x² – 3.

b) Đặt tính chia như sau:

Vậy (4x⁴ + 14x³ - 21x - 9) : (2x² - 3) = 2x² + 7x + 3.

Bài 7.33 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia 0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x² cho 0,25xⁿ trong mỗi trường hợp sau:

a) n = 2;

b) n = 3.

Lời giải:

a) Với n = 2 ta có

(0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x²) : 0,25x²

= 0,5x⁵ : 0,25x² + 3,2x³ : 0,25x² + (-2x²) : 0,25x²

= (0,5 : 0,25) . (x⁵ : x²) + (3,2 : 0,25) . (x³ : x²) + (-2 : 0,25) . (x² : x²)

= 2x³ + 12,8x - 8

b) Với n = 3 thì đa thức chia 0,25x³ có bậc bằng 3.

Trong đa thức bị chia 0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x² có hạng tử -2x² có bậc bằng 2 < 3 nên ta thực hiện đặt tính chia:

Vậy 0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x² = 0,25x³ . (2x² + 12,8) - 2x².

Bài 7.34 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:

F(x) = G(x) . Q(x) + R(x).

a) F(x) = 6x⁴ - 3x³ + 15x² + 2x - 1; G(x) = 3x².

b) F(x) = 12x⁴ + 10x³ - x - 3; G(x) = 3x² + x + 1.

Lời giải:

a) Đặt tính chia như sau:

Do đó Q(x) = 2x² - x + 5; R(x) = 2x - 1.

Vậy 6x⁴ - 3x³ + 15x² + 2x - 1 = 3x² . (2x² - x + 5) + 2x - 1.

b) Đặt tính chia như sau:

Do đó Q(x) = 4x² + 2x - 2; R(x) = -x - 1.

Vậy 12x⁴ + 10x³ - x - 3 = (3x² + x + 1) . (4x² + 2x - 2) - x - 1.

Bài 7.35 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x - 4 cho 3x².

Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Lời giải:

Ta thấy bậc của đa thức bị chia 21x - 4 (là 1) nhỏ hơn bậc của đa thức chia 3x² (là 2).

Do đó không thể thực hiện được phép chia.

Vậy thương của phép chia bằng 0 và dư của phép chia là 21x - 4.