Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 6 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày; máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số tấn loại sản phẩm X và Y của nhà máy.

Theo đề ta có:

+ Thời gian làm việc của máy A để sản xuất ra hai loại sản phẩm X, Y không vượt qua 12 giờ nên 6x + 2y ≤ 12 hay 3x + y ≤ 6

+ Thời gian làm việc của máy B để sản xuất ra hai loại sản phẩm X, Y không vượt qua 8 giờ nên 2x + 2y ≤ 8 hay x + y ≤ 4

Suy ra hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là: $\left\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y ≤ 6

Vẽ đường thẳng 3x + y - 6 = 0 đi qua hai điểm (2; 0); (0; 6).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 3x + y - 6 = 0  và 3.0 + 0 - 6 = - 6  < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 4

Vẽ đường thẳng x + y – 4 = 0 đi qua hai điểm (4; 0); (0; 4).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 4 = 0 và 0 + 0 - 4 = - 4< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0); A(0; 4); B(1; 3); C(2; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta được: F = 10x + 8y.                                                                                                              

Giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0) ta có: F = 10.0 + 8.0 = 0;

Tại A(0; 4) ta có: F = 10.0 + 8.4 = 32;

Tại B(1; 3) ta có: F = 10.1 + 8.3 = 34;

Tại C(2; 0) ta có: F = 10.2 + 8.0 = 20;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 34 tại B(1; 3).

Vậy mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X và 3 tấn sản phẩm loại Y để thu được số tiền lãi lớn nhất.