Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 3 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số kilôgam của sản phẩm loại A và loại B.

Theo đề ta có:

+ Số kilôgam nguyên liệu I dùng để sản xuất ra 2 loại sản phẩm không vượt quá 8kg nên 2x + y ≤ 8

+ Số kilôgam nguyên liệu II dùng để sản xuất ra 2 loại sản phẩm không vượt quá 24kg nên 4x + 4y ≤ 24 hay x + y ≤ 6

+ Số kilôgam nguyên liệu III dùng để sản xuất ra 2 loại sản phẩm không vượt quá 8kg nên x + 2y ≤ 8

Suy ra hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là: $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 8\\ x+y\le 6\\ x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 2x + y ≤ 8

Vẽ đường thẳng 2x + y – 8 = 0 đi qua hai điểm (4; 0) và (0; 8).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 2x + y – 8 = 0 và 0.2 + 0 – 8 = -8 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 6

Vẽ đường thẳng x + y - 6 = 0 đi qua hai điểm (6; 0); (0; 6).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 6 = 0 và 0 + 0 – 6 = - 6 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0);  A(0; 4); B$(\frac{8}{3};\frac{8}{3})$; C(4; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta được: F = 30x + 50y.

Giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0) ta có: F = 30.0 + 50.0 = 0;

Tại A(0; 4) ta có: F = 30.0 + 50.4 = 200;

Tại B$(\frac{8}{3};\frac{8}{3})$ta có:$F=30.\frac{8}{3}+50.\frac{8}{3}=\frac{640}{3}$ ;

Tại C(4; 0) ta có: F = 30.4 + 50.0 = 120;

F đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{640}{3}$ tại B$(\frac{8}{3};\frac{8}{3})$.

Vậy công ty cần sản xuất $\frac{8}{3}$ kilôgam sản phẩm loại A và $\frac{8}{3}$ kilôgam sản phẩm loại B để số tiền lãi thu về là lớn nhất.