Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 5 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với 1kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lượng hũ tương cà loại A và loại B.

+ Số kg cà chua để làm 2 loại tương ớt không được vượt quá 180 kg nên 10x + 5y ≤180  hay 2x + y ≤ 36

+ Số kg hành tây để làm 2 loại tương ớt không được vượt quá 15 kg nên x + 0,25y ≤ 15

+ Theo yêu cầu cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên x ≥ 3,5y

Suy ra hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:$\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 36\\ x+0,25y\le 15\\ x\ge 3,5y\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 2x + y ≤ 36

Vẽ đường thẳng 2x + y - 36 = 0 đi qua hai điểm (18; 0) và (0; 36).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 2x + y – 36 = 0 và 2.0 + 0 – 36 = - 36  < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 0,25y ≤ 15

Vẽ đường thẳng x + 0,25y – 15 = 0 đi qua hai điểm (15; 0); (0; 60).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + 0,25y – 15 = 0 và 0 + 0,25.0 - 15 = -15< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≥  3,5y hay x - 3,5y ≥ 0.

≥ 0

Vẽ đường thẳng x - 3,5y = 0 đi qua hai điểm (0; 0); (7; 2).

Xét gốc toạ độ A(1; 1) ta thấy: A không thuộc đường thẳng x - 3,5y = 0 và 1 - 3,5.1 = -2.5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm A

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là tam giác OAB với các đỉnh O(0; 0); A(15; 0); B(14; 4).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: nghìn đồng), ta được: F = 200x + 150y.                                                                                                     

Giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:

Tại O(0; 0) ta có: F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A(15; 0) ta có: F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

Tại B(14; 4) ta có: F = 200.14 + 150.4 = 3 400;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 3 400 tại B(14; 4).

Vậy chủ nông trại cần làm 14 hũ tương cà loại A và 4 hũ tương cà loại B để thu được số tiền lãi lớn nhất.