Giải bài tập Toán 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Mở đầu 

Mở đầu trang 80 Toán 7 Tập 1: Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam giác theo tỉ lệ 1 : 100. Biết rằng ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m và hai mái nghiêng như nhau. Theo em, trên bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để xác định được chính xác điểm C trên bản thiết kế ta sẽ làm các bước sau:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm.

Bước 2. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB (đường thẳng d vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB).

Bước 3. Trên đường trung trực d lấy điểm C sao cho OC = 5 cm.

Vì C nằm trên trung trực d của đoạn thẳng AB nên CA = CB (tính chất đường trung trực).

Khi đó trên bản thiết kế tỉ lệ 1 : 100 đã thể hiện được ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m với hai mái nghiêng như nhau. 

1.Tam giác cân và tính chất

Câu hỏi trang 80 Toán 7 Tập 1: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A, với hai cạnh bên là AB và AC, cạnh đáy là BC, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là $\hat{B}$ và $\hat{C}$ 

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A, với hai cạnh bên là AB và AD, cạnh đáy là BD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là $\hat{B}$ và $\hat{D}$ 

Tam giác ACD có AC = AD = 3 cm nên tam giác ACD cân tại A, với hai cạnh bên là AC và AD, cạnh đáy là CD, góc ở đỉnh là A, hai góc ở đáy là $\hat{C}$ và $\hat{D}$  

HĐ 1 trang 81 Toán 7 Tập 1: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

a) Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên ta có AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB = AC (chứng minh trên);

BD = CD (do D là trung điểm của BC);

AD là cạnh chung.

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D }$(c.c.c).

b) Từ $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D }$(chứng minh câu a) suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Vậy góc $\hat{B}$ và $\hat{C}$ của tam giác ABC cân tại A bằng nhau. 

HĐ 2 trang 81 Toán 7 Tập 1:

Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=\widehat{N}.$ Vẽ tia phân giác PK của góc MPN ($K\in MN$).

Chứng minh rằng:

a) $\widehat{MKP}=\widehat{NKP};$                                

b) $\Delta MPK=\Delta NPK;$

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

a) PK là tia phân giác của góc MPN (theo giả thiết) nên $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Tam giác MPK có $\widehat{NKP}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh K nên ta có $\widehat{NKP}=\widehat{MPK}+\widehat{M}.$

Tam giác NPK có $\widehat{MKP}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh K nên ta có $\widehat{MKP}=\widehat{NPK}+\widehat{N}.$

Mà $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (chứng minh trên) và $\widehat{M}=\widehat{N}$ (theo giả thiết).

Do đó $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}.$

b) Xét tam giác MPK và tam giác NPK có:

$\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (chứng minh ở câu a);

PK là cạnh chung;

$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$ (chứng minh ở câu a).

Vậy $\Delta MPK=\Delta NPK$ (g.c.g).

c) Từ $\Delta MPK=\Delta NPK$ (chứng minh ở câu b) suy ra MP = NP (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác MNP cân tại P (định nghĩa tam giác cân).

Vậy tam giác MNP cân tại P.

Luyện tập 1 trang 81 Toán 7 Tập 1: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Lời giải:

Tam giác DEF có EF = DF = 4 cm (theo giả thiết) nên tam giác DEF cân tại F (định nghĩa tam giác cân).

Do đó $\widehat{D}=\widehat{E}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{\text{E}}=60°$ (theo giả thiết) nên $\widehat{D}=60°$.

Tam giác DEF có $\widehat{D}=60°$, $\widehat{\text{E}}=60°$, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có $\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180°$.

Suy ra $\widehat{F}=180°-\widehat{D}-\widehat{E}$ 

Hay $\widehat{F}=180°-60°-60°=60°.$ 

Khi đó ta có $\widehat{E}=\widehat{F}\left(=60°\right)$.

Suy ra tam giác DEF cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Do đó DE = DF (định nghĩa tam giác cân).

Mà DF = 4 cm (theo giả thiết).

Vậy DE = 4 cm. 

Thử thách nhỏ trang 81 Toán 7 Tập 1:

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau.

b) Tam giác cân có một góc bằng 60^o.

Lời giải:

a)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác cho tam giác ABC ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Mà $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ (theo giả thiết);

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{A}+\widehat{A}=180°$ hay $3.\widehat{A}=180°$.

Do đó $\widehat{A}=60°.$ 

Khi đó $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°$.

Tam giác ABC có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều.

b) +) Tam giác DEF cân tại D có $\widehat{E}=60°.$ 

Tam giác DEF cân tại D (theo giả thiết) nên $\widehat{E}=\widehat{F}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{E}=60°,$ do đó $\widehat{F}=60°.$ 

Tam giác DEF có $\widehat{\text{E}}=60°$, $\widehat{F}=60°$, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có $\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180°$.

Suy ra $\widehat{D}=180°-\widehat{E}-\widehat{F}$ 

Hay $\widehat{D}=180°-60°-60°=60°.$ 

Khi đó ta có $\widehat{D}=\widehat{E}=\widehat{F}\left(=60°\right)$.

Tam giác DEF có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều.

+) Tam giác MNP cân tại M có $\widehat{M}=60°.$ 

Tam giác MNP cân tại M (theo giả thiết) nên $\widehat{N}=\widehat{P}$ (tính chất tam giác cân).

Tam giác MNP có $\widehat{M}=60°$, $\widehat{N}=\widehat{P}$, áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$.

Suy ra $60°+\widehat{N}+\widehat{N}=180°$ 

Hay $2.\widehat{N}=180°-60°$

 $2.\widehat{N}=120°$

$\widehat{N}=60°$.

Khi đó $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}\left(=60°\right)$.

Tam giác MNP có ba góc bằng nhau và cùng bằng 60° nên là tam giác đều. 

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

HĐ 3 trang 81 – 82 Toán 7 Tập 1: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau.

Mở mảnh giấy ra, kẻ đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Lời giải:

Mảnh giấy sau khi gấp được mô tả như hình vẽ trên.             

a) Mảnh giấy được gấp sao cho điểm A trùng với điểm B, O là giao điểm của đường thẳng d và AB, khi đó đường thẳng d chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bằng nhau, tức là OA = OB.

Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Dùng thước đo góc ta thấy góc dOB có số đo bằng 90° nên $d\perp AB.$ 

Vậy đường thẳng d vuông góc với AB.

Câu hỏi trang 82 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Lời giải:

Trong các hình vẽ trên:

Hình 4.64 a) ta thấy Lan đã vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên đường thẳng này là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình 4.64 b) Lan vẽ đường thẳng đi qua trung điểm của CD nhưng không vuông góc với CD do đó đường thẳng này không phải là trung trực của đoạn thẳng CD.

Trên Hình 4.64 c) Lan vẽ đường thẳng vuông góc với EF nhưng không đi qua trung điểm của EF do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Vậy hình bạn Lan vẽ đúng là hình a. 

HĐ 4 trang 82 Toán 7 Tập 1: Trên mảnh giấy trong Hoạt động 3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài các đoạn thẳng AM và BM, sau đó so sánh kết quả thì thấy độ dài của hai đoạn thẳng này bằng nhau.

Vậy AM = BM. 

Luyện tập 2 trang 83 Toán 7 Tập 1: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và $\widehat{MAB}=60°$ (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Lời giải:

Điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB nên ta có MA = MB (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Mà MA = 3 cm nên MB = 3 cm.

Do MA = MB (chứng minh trên) nên tam giác MAB cân tại M (định nghĩa tam giác cân).

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{MAB}=60°$ do đó $\widehat{MBA}=60°.$ 

Vậy BM = 3 cm, $\widehat{MBA}=60°.$ 

Thực hành trang 83 Toán 7 Tập 1: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

- Vẽ đoạn thẳng AB;

- Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn $\frac{AB}{2}$), sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;

- Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68).

Lời giải:

Bước 1. Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AB ta được hình vẽ sau:

Bước 2. Dùng compa vẽ cung tròn tâm A và cung tròn tâm B có cùng bán kính (bán kính lớn hơn $\frac{AB}{2}$).

Hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N, do đó AN = AM = BN = BM.

Khi đó ta được hình vẽ sau:

Bước 3. Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua hai điểm M và N ta được hình vẽ dưới đây.

AN = BN nên N nằm trên đường trung trực của AB.

AM = BM nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Khi đó đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

Bài tập

Bài 4.23 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Vì $BE\perp AC$ (theo giả thiết) nên $\widehat{AEB}=90°$, do đó tam giác AEB vuông tại E.

Vì $CF\perp AB$ (theo giả thiết) nên $\widehat{AFC}=90°$, do đó tam giác AFC vuông tại F.

Xét tam giác AEB (vuông tại E) và tam giác AFC (vuông tại F) có:

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Vậy $\Delta AEB=\Delta AFC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 4.24 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên);

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

AM là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABM=\Delta ACM$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Mà góc AMB và góc AMC là hai góc kề bù nên ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{AMB}+\widehat{AMB}=180°$.

$2.\widehat{AMB}=180°$

$\widehat{AMB}=90°$ 

Suy ra $AM\perp BC.$ 

Từ $\Delta ABM=\Delta ACM$ (chứng minh trên), suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của góc BAC. 

Bài 4.25 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

Vì M là trung điểm của BC và $AM\perp BC$ (theo giả thiết) nên đường thẳng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).

b)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét tam giác DBM và tam giác ACM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

$\widehat{DMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc đối đỉnh);

MD = MA (theo cách vẽ).

Vậy $\Delta DBM=\Delta ACM$ (c.g.c).

Suy ra DB = AC (hai cạnh tương ứng)       .         (1)

Và $\widehat{BDM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tướng ứng).

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là tia phân giác của góc BAC).

Do đó $\widehat{BDM}=\widehat{BAM}\left(=\widehat{CAM}\right)$.

Hay $\widehat{BDA}=\widehat{BAD}$ suy ra tam giác ABD cân tại B.

Suy ra AB = DB (định nghĩa tam giác cân).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân). 

Bài 4.26 trang 84 Toán 7 Tập 1: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45^o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45^o là tam giác vuông cân.

Lời giải:

a)

Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=90°.$ 

Khi đó số đo của góc B và góc C sẽ nhỏ hơn 90°.

+) Nếu tam giác ABC cân tại B nên $\widehat{A}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{A}=90°$ nên $\widehat{C}=90°$ (vô lí vì $\widehat{C}<90°$)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại B.

+) Nếu tam giác ABC cân tại C nên $\widehat{A}=\widehat{B}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{A}=90°$ nên $\widehat{B}=90°$ (vô lí vì $\widehat{B}<90°$)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại C.

Do vậy tam giác ABC vuông tại A và cân tại A.

b)

Tam giác ABC vuông cân nên tam giác ABC cân tại đỉnh A (theo câu a).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân).

Mà trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{B}=90°$ 

$2\widehat{B}=90°$

$\widehat{B}=45°.$ 

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{C}=45°.$

c)

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ 

$\widehat{C}=90°-45°$ 

$\widehat{C}=45°$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{C}=45°,$ suy ra tam giác ABC cân tại A.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.  

Bài 4.27 trang 84 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Lời giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy đường kẻ ngang vuông góc với đường kẻ dọc. Khi đó trong 4 đường thẳng d, u, m, n thì có ba đường thẳng d, m và n vuông góc với đoạn thẳng AB.

Trong hình vẽ, đoạn thẳng AB được chia làm 6 đoạn thẳng bằng nhau.

Do đó trung điểm của AB là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách A (cách B) 3 đoạn thẳng nhỏ.

Vì vậy chỉ có đường thẳng m thoả mãn điều kiện vuông góc với đoạn thẳng AB và đi qua trung điểm của AB, khi đó đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy trong các đường thẳng trên hình vẽ, đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

Bài 4.28 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$.

Khi đó tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét tam giác ABD (vuông tại D) và tam giác (ACD vuông tại D) ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A);

AD là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABD=\Delta ACD$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng).

Do đó D là trung điểm của BC.

Khi đó đường thẳng AD vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của BC.