Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC
Lời giải Bài 7 trang 79 Toán 10 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.
Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
cotA + cotB + cotC = R(a2+b2+c2)abc
Lời giải:
Ta có: cotA + cot B + cot C
=cosAsinA+cosBsinB+cosCsinC
Mà áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosA=b2+c2−a22bccosB=a2+c2−b22accosC=a2+b2−c22ab
⇒cotA+cotB+cotC=b2+c2−a22bc.sinA+a2+c2−b22ac.sinB+b2+a2−c22ab.sinC
(1)
Ta có: SABC=12bcsinA=12absinC=12absinB (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
cotA+cotB+cotC=b2+c2−a24SABC+a2+c2−b24SABC+b2+a2−c24SABC
=b2+c2−a2+c2+a2−b2+a2+b2−c24SABC=a2+b2+c24SABC
=a2+b2+c24.abc4R=R.(a2+b2+c2)abc (đpcm)
