Giải Toán lớp 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài 6 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1: Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) +) Nhà máy A:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là:

$\frac{1}{8}$(4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 47) = 10.

Giá trị 4 và 5 cùng xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 4 và 5.

Cỡ mẫu bằng 8 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}$(5 + 5) = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 4; 4; 4; 5 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(4 + 4) = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 5; 5; 6; 47 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(5 + 6) = 5,5.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{8}$(4² + 4² + 4² + 5² + 5² + 5² + 6² + 47²) - 10² = 196.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $\sqrt{196}$ = 14.

+) Nhà máy B:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là:

$\frac{1}{9}$(2 + 8 + 9 . 5 + 10 + 11) ≈ 8,4.

Giá trị 9 xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 9.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 8; 9; 9 là Q₁ = $\frac{1}{2}$(8 + 9) = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 9; 9; 10; 11 là Q₃ = $\frac{1}{2}$(9 + 10) = 9,5.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{9}$(2² + 8² + 5 . 9² + 10² + 11²) - 8,4² ≈ 6,55.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:  $\sqrt{6,55}$≈ 2,56.

b) Tại nhà máy A ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$ = 5,5 + 1,5 . (5,5 - 4) = 7,75;  Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$ = 4 - 1,5 . (5,5 - 4) = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là 47.

Tại nhà máy B ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$ = 9,5 + 1,5 . (9,5 - 8,5) = 11;  Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$ = 8,5 - 1,5 . (9,5 - 8,5) = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là 2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mức lương hàng thàng của công nhân nhà máy B nhỏ hơn nhà máy A nên công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn.