Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý
Lời giải Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán lớp 10 Tập 1.
Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5
Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng →MD+→ME+→MF=32→MO.
Lời giải:
Tam giác ABC đều nên ^ABC=^ACB=^BAC=60°.
Qua M kẻ NS // AB, PT // AC, RQ // BC.
Do NS //AB nên ^MNT=^ABC=60° và ^MSR=^BAC=60°.
Do PT // AC nên ^MTN=^ACB=60° và ^MPQ=^BAC=60°.
Do RQ // BC nên ^MRS=^ACB=60° và ^MQP=^ABC=60°.
Khi đó các tam giác MNT, MRS và MPQ là các tam giác đều.
Tam giác MNT đều có MD ⊥ NT nên D là trung điểm của NT.
Tam giác MRS đều có ME ⊥ RS nên E là trung điểm của RS.
Tam giác MPQ đều có MF ⊥PQ nên F là trung điểm của PQ.
Do D là trung điểm của NT nên →MN+→MT=2→MD.
Do E là trung điểm của RS nên →MR+→MS=2→ME.
Do F là trung điểm của PQ nên →MP+→MQ=2→MF.
Do đó 2→MD+2→ME+2→MF=→MN+→MT+→MR+→MS+→MP+→MQ
=(→MN+→MQ)+(→MT+→MR)+(→MS+→MP)
Tứ giác MNBQ có MN // BQ và MQ // BN nên MNBQ là hình bình hành.
Tứ giác MTCR có MT // CR và MR // CT nên MTCR là hình bình hành.
Tứ giác MSAP có MP // AS và MS // AP nên MSAP là hình bình hành.
Khi đó áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
→MN+→MQ=→MB; →MT+→MR=→MC; →MS+→MP=→MA.
Do đó (→MN+→MQ)+(→MT+→MR)+(→MS+→MP)=→MA+→MB+→MC.
Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên →MA+→MB+→MC=3→MO hay
2→MD+2→ME+2→MF=3→MO.
Do đó →MD+→ME+→MF=32→MO.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: