Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài 9 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 30 : 20 = 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a, b, c là các số thực, a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2      (1)

a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2              (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}225a-15b=4,2\\ 225a+15b=4,2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{375}\\ b=0\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình parabol cần tìm là:$y=\frac{7}{375}{x}^2+0,8$.

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

 $\frac{7}{375}.1,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.1,5^2+0,8\right)=0,8841$(m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

 $\frac{7}{375}{.3}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.3}^2+0,8\right)=1,0164$(m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.4,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.4,5^2+0,8\right)=1,2369$ (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

 $\frac{7}{375}{.6}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.6}^2+0,8\right)=1,5456$(m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

 $\frac{7}{375}.7,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.7,5^2+0,8\right)=1,9425$(m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

 $\frac{7}{375}{.9}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.9}^2+0,8\right)=2,4276$(m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.10,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.10,5^2+0,8\right)=3,0009$(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}{.12}^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}{.12}^2+0,8\right)=3,6624$(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

$\frac{7}{375}.13,5^2+0,8+5\%.\left(\frac{7}{375}.13,5^2+0,8\right)=4,4121$(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

4.(0,84 + 0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 104,874 (m).

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là: 104,874 m.