Bài 1 : Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b² = a.b'; c² = a.c'

2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao

a) Định lý 1

    Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

    Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: h² = b'.c'.

b) Định lý 2

    Trong một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng

    Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c

c) Định lý 3

    Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

    Trong tam giác ABC vuông tại A ta có:

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.

Hướng dẫn:

a) Theo giả thiết: AB:AC = 3:4, suy ra

Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225, suy ra BC = 15cm

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH.BC = AB.AC, suy ra

    AH² = BH.HC. Đặt BH = x (0 < x < 9) thì HC = 15 - x, ta có:

    (7,2)² = x(15 - x) ⇔ x² - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy BH = 5,4cm. Từ đó HC = BC - BH = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

AB² = BH.BC suy ra

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b (b > a) .

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK ⊥ AC . Tính tỷ số  .