Bài 1: Cho hàm số y = x³ - 2x² - 1 (1) và các mệnh đề

(1) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 hoặc x = 4/3

(2) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

(3) Điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

(4) Cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:

A.0    

B.1    

C.2    

D.3

Ta có: y' = 3x² - 4x, y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0; y''(4/3) = 4 > 0. Do đó hàm số có hai cực trị là x = 0 và x = 4/3

Các mệnh đề (1); (2) và (3) sai;mệnh đề (4) đúng.

Bài 2: Cho hàm số y = x³ - 2x² + 3. Điểm M(0; 3) là:

A. Cực đại của hàm số    

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số

B. Điểm cực đại của hàm số    

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Ta có: y' = 3x² -4x; y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0

Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C.

Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 3: Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin²x + √3cosx + 1 với x ∈ (0; π)

A. x = 0    

B. x = π    

C. π/6    

D. π/3

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 4: Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?

1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

2. Hàm số không liên tục tại x = 0.

3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.

4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. 3.

Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.

Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0

Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng. Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hàm số y = -3x⁴ - 2x³ + 3

Hàm số có

A. Một cực đại và hai cực tiểu

B. Một cực tiểu và hai cực đại

C. Một cực đại và không có cực tiểu

D. Một cực tiểu và một cực đại.

Ta có y' = -12x³ - 4x

Xét y'=0 => x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0. Chọn đáp án C.

Bài 6: Cho hàm số y = x⁴ - 2(m - 1)x² + m². Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

A. m = 0

B.m= 1

C. m= -1

D. m = 2

C. y = a²x⁴ - 2x² + 3     D. y = x⁴ + 2x² + 3a

Bài 7: Cho hàm số f có đạo hàm là f'(x) = x(x+1)²(x-2)⁴ với mọi x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số f là:

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D.3

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Vậy hàm số có một cực trị

Bài 8: Điểm cực đại của hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là:

A. x = 0    

B. x = -2    

C. x = 2    

D. Không tồn tại

Ta có y' = -3x² - 6x, y'' = -6x - 6 .

Xét

y''(0) = -6 < 0; y''(-2) = 6 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0

Bài 9: Điểm cực tiểu của hàm số y = x⁴ + 4x² + 2 là:

A. x = 1    

B. x = √2    

C. x = 0    

D. Không tồn tại

Ta có: y' = 4x³ + 8x, y'' = 12x² + 8. y' = 0 <=> 4x(x² + 2) = 0 <=> x = 0

y''(0) = 2 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 2x² +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

A.m = -1   

B. m = 1    

C. m = 4/3    

D. Không tồn tại.

Ta có y' = 3x₂ - 4x + m

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.1² - 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1

Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ - 2x² + x + 1

Ta có y' = 3x² - 4x + 1, y'' = 6x - 4 Vì y''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Do vậy không có m thỏa mãn. Chọn đáp án D.

Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A. M(0; 2)    

B. N(-2; -14)

C. P(2; -14)    

D. N(-2; -14) và P(2; -14)

Dựa vào định nghĩa cực trị.

Chọn đáp án A.

Bài 12: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có đúng hai cực trị

B. Hàm số có điểm cực tiểu là -2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1

Dựa vào định nghĩa cực trị và bảng biến thiên.

Chọn đáp án D.

Bài 13: Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x³ + ax² + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1 .

Sử dụng giả thiết và điều kiện cần của cực trị ta có

y(1) = 0; y'(-1) = 0; y(-1) = 0

Trong đó , y' = 3x² + 2ax + b

Từ đó suy ra:

Với a = 1; b = -1; c = -1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ + x² - x - 1

Ta có y' = 3x² + 2x - 1, y'' = 6x + 2. Vì y''=(-1) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Vậy a = 1; b = -1; c = -1 là các giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C.

Bài 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu f'(x₀) = 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

D. Nếu f(x) có đạo hàm tại x₀ và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

Xem lại điều kiện cần và đủ để có cực trị của hàm số.

Chọn đáp án D.

Bài 15: Cho hàm số y = x³ - 3x² - 6x + 8 (C). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là:

A. y = 6x - 6    

B. y = -6x - 6    

C. y = 6x + 6    

D. y = -6x + 6

Cách 1: Ta có y’=3x²-6x-6 ; y”=6x - 6

Do đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1 + √3; -6√3) và B(1 - √3; 6√3) .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Cách 2: Ta có:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình y’(x)= 3x²-6x-6=0 . Khi đó ta có A(x₁, y(x₁)), BA(x₂, y(x₂)) là hai cực trị của đồ thị hàm số C với y'(x₁) = y'(x₂) = 0 .

Do đó ta có:

Vậy A, B thuộc đường thẳng y= - 6x+6.

Bài 16: Với giá trị nào của m, hàm số y = (x - m)³ - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?

A. m = 1    

B. m = -1    

C. m = 0    

D. Không tồn tại

Xét y = x³ - 3mx² + (3m² - 3)x - m²

Ta có: y' = 3² - 6mx + 3m² - 3, y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi

Bài 17: Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ + 2(m - 1)x² + (m² - 4m + 1)x + 2(m² + 1) có hai điểm cực trị x₁,x₂ thỏa mãn

A. m = 1/2    

B. m = 2    

C. m = 1/2 hoặc m = 2    

D. Không tồn tại

Ta có y' = 3x² + 4(m - 1)x + m² - 4m + 1. Hàm số có hai cực trị

=> y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> 4(m - 1)² - 3(m² - 4m + 1) > 0

<=> m² + 4m + 1 > 0

Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ta có :

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 5 hoặc m = 1

Bài 18: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 3(m² - 1)x - m ³ + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

Ta có y' = 3x² - 6mx + 3(m² - 1).

Hàm số có hai cực trị => y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> (3m)² - 3.3(m² - 1) > 0 <=> 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B(m - 1; -2m + 2) và cực tiểu là C(m + 1; -2m - 2)

Bài 19: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

A. m = 0    

B. m = 1    

C. m = -3/2    

D. m = -3/2 hoặc m = 1

y’= 3x² - 6mx = 3x(x - 2m)

Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m ≠ 0 (*)

Tọa độ hai điểm cực trị là B(0;m) và C(2m;-4m³ + m)

AB→ =(1;m – 3); AC→ =(2m+1; -4m³ + m-3)

A, B, C thẳng hàng

Bài 20: Giá trị của m để hàm số y = x³ - 3mx² + (m² - 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là:

A. m = 1    

B. m = 11    

C. m = -1    

D. Không tồn tại

y' = 3x² - 6mx + m² - 1; y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi

Bài 21: Cho hàm số y = x³ -3x² - 9x + 4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là:

A. y = -8x + 1    

B. y = x + 7    

C. y = -x + 1    

D. Không tồn tại

y' = 3x² - 6x - 9, y'' = 6x - 6

Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(-1;9) và B(3;-23).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Bài 22: Với giá trị nào của m, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 3mx + 1 - m tạo với đường thẳng Δ: 3x + y - 8 = 0 một góc 45^o ?

A. m = 0    

B. m = 2   

C.m = 3/4    

D. m = 2 hoặc m = 3/4

Ta có y' = 3x² - 6x + 3m. Hàm số có hai điểm cực trị <=> y’=0 có hai nghiệm phân biệt

<=> Δ' = 3² -3.3m > 0 <=> m < 1 (*)

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng (d) : y= (2m-2)x+1

(d) có vectơ pháp tuyến là n₁→ = (2m - 2; -1)

(Δ) : 3x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến là n₂→(3; 1)

Vì góc giữa đường thẳng (d) và (Δ) là 45^o nên

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 3/4

Bài 23: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + m²x + m có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng:

A. m = 0    

B. m = 1    

C. m = -1   

D. Không tồn tại

y' = 3x² + 6x + m² . Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' = 3² - 3.m² > 0 <=> -√3 < m < √3

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng

(d) có vectơ pháp tuyến là

Vì hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (Δ) nên (d) ⊥ (Δ)

Thử lại khi m=0 ta có: y = x³ + 3x²; y' = 3x² + 6x; y'' = 6x + 6

y''(0) = 6 > 0; y''(-2) = -6 < 0

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là O(0;0), A(-2;4)

Trung điểm của OA là I(-1;2).

Ta thấy I(-1,2) không thuộc đường thẳng (Δ) . Vậy không tồn tại m.

Bài 24: Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + m ⁴ + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

A. m = 0    

B. m = ∛3    

C.-∛3    

D. Không tồn tại

y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² - m)

Hàm số có ba điểm cực trị => y’=0 có ba nghiệm phân biệt <=> m > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là :

A(0; m⁴ + 2m), B(-√m; m⁴ - m² + 2m), C(√m; m⁴ - m² + 2m)

ΔABC đều khi AB=AC

Đối chiếu với điều kiện tồn tại cực trị ta có m = ∛3 là giá trị cần tìm.

Bài 25: Cho hàm số y = x⁴ - 2x² - 2 (2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số (2) đạt cực đại tại y = -2

B. Hàm số (2) đạt giá trị cực đại tại y = -2

C. Đồ thị hàm số (2) có điểm cực đại là y = -2

D. Hàm số (2) có giá trị cực đại là y = -2

Ta có: y' = 4x³ - 4x, y'' = 12x² - 4

y''(-1) = 8 > 0; y''(1) = 8 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và có giá trị cực đại là y(0)=-2

Bài 26: Hàm số y = cosx đạt cực trị tại những điểm

y' = -sinx; y'' = -cosx. y' = 0 <=> -sinx = 0 <=> x = kπ

y''(kπ) = ±1. Do đó hàm số đạt cực trị tại x = kπ

Bài 27: Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ - 2x² + mx - 1 không có cực trị?

y' = 3x² - 4x + m. Hàm số không có cực trị <=> y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép <=> Δ' ≤ 0 <=> 2² - 3m ≤ 0 <=> m ≥ 4/3

Do đó hàm số không có cực trị khi m ≥ 4/3

Bài 28: Với giá trị nào của m, hàm số y = -mx⁴ + 2(m - 1)x² + 1 - 2m có một cực trị

A.0 ≤ m ≤ 1    

B. m > 1 hoặc m < 0    

C. 0 < m < 1    

D. 0 < m ≤ 1

Xét hàm số y = -mx⁴ +2(m - 1)x² + 1 - 2m(1)

TH1: m = 0 (1) trở thành y = -2x² + 1

Vậy với m = 0 hàm số luôn có một cực trị.

TH2: m ≠ 0. y' = -4mx³ + 4(m - 1)x

Để hàm số (1) có một cực trị thì

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

Kết hợp cả hai trường hợp ta có 0 ≤ m ≤ 1