Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1 ;2 ;2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. 2x + 2y + z - 8 = 0

B. 2x + 2y + z + 8 = 0

D. x + 2y + 2z - 9 = 0

Ta có OA ⊥ OB, OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC .

Mặt khác ta có AM ⊥ BC nên ta suy ra BC ⊥ (OAM) => BC ⊥ OM

Chứng minh tương tự ta được AC ⊥ OM . Do đó OM ⊥ (ABC).

Ta chọn n_P→ = OM→ = (1; 2; 2). Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là :

1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0 <=> x + 2y + 2z - 9 = 0

Chọn D

Lưu ý. Bài toán này có thể giải bằng cách tìm tọa độ của các điểm A, B, C dựa vào các điều kiện

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳn song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0. M là một điểm di động trên mặt phẳng (P). Khẳng định nào dưới đây có thể sai?

A. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.

B. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D' - D|

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và M thuộc mặt phẳng (P) thì:

+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 

+ Đặc biệt, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D - D'| khi và chỉ khi :

A² + B² + C² =1

Do đó, mệnh đề D có thể sai.

Câu 3: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Mỗi mặt phẳng chỉ có duy nhất một vectơ pháp tuyến

B. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

C. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) vuông góc với một mặt phẳng (Q) cho trước

D. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) song song với một đường thẳng d cho trước

Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A(x₀; y₀; z₀) thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến n→(A; B; C) của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) khi đó: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀)= 0

Câu 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ pháp tuyến n^P→ = (A; B; C) là: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng cũng vuông góc

C. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng không cùng phương

D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song

Khẳng định: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song là sai vì khi đó hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể trùng nhau.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

A. 2x - y - 3z - 8 = 0   C. x - 2z - 8 = 0

B. x - 2z - 8 = 0   D. 2x - y - 3z + 6 = 0

Do (P) ⊥ AB nên mp(P) có một vectơ pháp tuyến là n_P→ = AB→ = (-2; 1; 3) . Mặt khác (P) đi qua điểm A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 ⇔ -2x + y + 3z + 8 = 0 ⇔ 2x - y - 3z - 8 = 0.

Vậy đáp án đúng là A.

Lưu ý. Khi ta viết phương trình mặt phẳng (P) bị nhầm ở cột z:

-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 <> 2x - y - 3z - 4 = 0

thì ta được đáp án B.

Khi ta viết phương trình mặt phẳng bị nhầm giữa tọa độ của điểm A với tọa độ của vectơ pháp tuyến 1(x - (-2)) + 0(y - 1) -2(z - 3) = 0 <=> x - 2x + 8 = 0 thì ta được đáp án C.

Khi ta viết phương trình mặt phẳng đi qua B thì ta thu được đáp án D.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;5), B(-1;5;3). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB

A. x + y + z = 0   

B. x + y - z = 0   

C. x - y + z = 0    

D. -x + y + z = 0

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB. Ta có

Ta chọn :

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

-2(x - 0) + 2(y - 4) - 2(z - 4) = 0 ⇔ -2x + 2y - 2z = 0 ⇔ x - y + z = 0

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 7: Trong không gian Oxyz, gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

C. Thể tích của tứ diện OA₁A₂A₃ bằng 4

D. Mặt phẳng (A₁A₂A₃) đi qua điểm A.

Vì A₁, A₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) lên các trục Ox, Oy, Oz nên ta có A₁(4; 0; 0), A₂(0; 3; 0), A₃(0; 0; 2) .

Từ đó suy ra các khẳng định A và B là đúng.

Thể tích của khối tứ diện

Vậy khẳng định C là đúng.

Khẳng định D là sai do

Vậy đáp án cần tìm là đáp án D.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3), vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + y - 3z = 0 đồng thời (P) song song với trục Oz.

A. x + y - 3 = 0   

B. x - y - 1 = 0   

C. 2x + y - 3z - 1 = 0   

D. x - y + 1 = 0

Từ giả thiết ta suy ra

Ta chọn

Mặt khác (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 2) - 1(y - 1) = 0 <=> x - y - 1 = 0 .

Vậy đáp án đúng là B

Lưu ý. Đáp án A xuất phát từ việc tính sai thành phần thứ hai của vectơ pháp tuyến

Đáp án C xuất phát từ sai lầm trong công thức viết phương trình mặt phẳng, nhầm giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ pháp tuyến

Đáp án D xuất phát từ việc nhầm hệ số tự do khi viết phương trình mặt phẳng (P).

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ;0 ;1), B(0 ;-1 ;-3), C(3 ;2 ;5).

A. x - y - 1 = 0   

B. x - y + 1 = 0   

C. x + z - 2 = 0   

D. x + y - 1 = 0

Từ giả thiết ta suy ra

Mặt khác (P) đi qua điểm A(1 ;0 ;1) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 1) - 1(y - 0) = 0 <=> x - y - 1 = 0.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-x₀; -y₀; z₀) và phương trình của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz = D = 0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m² - 2m)x + y + (m - 1)z + m² + m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox ?

A. m=0    

B. m=2   

C. m=0 hoặc m=2   

D. m=1

Ta có n_P→ = (m² - 2m; 1; m - 1). Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi

Từ đó ta được m=2.

Vậy đáp án B là đáp án đúng.

Lưu ý. Học sinh thường chỉ để ý đến điều kiện (1) và quên mất điều kiện (2), từ đó sẽ chọn đáp án (C)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z + 1 = 0, (Q): 2x + 4y + az + b = 0. Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.

A. a=-4 và b=8    

B. a=-4 và b=8 hoặc b=-4   

C. a=-2 và b=38 hoặc b=-34

D. a=-4 và b=38 hoặc b=-34

Muốn khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lớn hơn 0 thì trước hết hai mặt phẳng đó phải song song (nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau hoặc cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0). Do đó ta có:

Lấy điểm A(-1;0;0) ∈ (P). Khi đó ta có:

Vậy đáp an đúng là B.

Lưu ý. Đáp án A sai là do khi tính khoảng cách quên không lấy giá trị tuyệt đối

Đáp án D sai, xuất phát từ sai lầm khi tính khoảng cách bị sai do thiếu căn thức ở mẫu số.

Đáp án C sai, do trong trường hợp đó hai mặt phẳng cắt nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng này sẽ bằng 0.

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x² + y² + z² - 2x - 4y + 6z + 5 = 0 và cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 3z + 3 = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. (P) giao (S) theo một đường tròn

B. (P) tiếp xúc với (S)

C. (P) không cắt (S)

D. Mặt phẳng (P) đi qua tâm của mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và có bán kính

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

Do đó mặt phẳng (P) giao với mặt cầu (S) theo một đường tròn và (P) không đi qua tâm I của (S).

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thay đổi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện 3ab + bc - 2ac = abc . Khoảng cách lớn nhất từ O đến mặt phẳng (ABC) là:

A. 14   

B. √14   

C. 1/√14    

D. Không tồn tại

Phương trình của mặt phẳng (ABC) là:

Theo giả thiết ta có:

Từ đó suy ra M(1; -2; 3) ∈ mp(ABC) .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H trùng M.

Vậy đáp án đúng là B

Câu 15: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có một vectơ pháp tuyến n^P→ = (A; B; C) là:

A. Ax₀ + By₀ + Cz₀ = 0

B. A(x + x₀) + B(y + y₀) + C(z + z₀) = 0

C. A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

D. x₀(x - A) + y₀(y - B) + z₀(z - C) = 0

Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ pháp tuyến n_p→ = (A; B; C) là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Câu 16: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x₀, y₀, -z₀) và có một vectơ pháp tuyến n^P→ = (-A; B; -C) là:

A. A(x - x₀) - B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

B. A(x + x₀) - B(y - y₀) + C(z + z₀) = 0

C. A(x - x₀) - B(y + y₀) + C(z - z₀) = 0

D. A(x + x₀) - B(y + y₀) + C(z + z₀) = 0

Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x₀; y₀; -z₀) và có một vectơ pháp tuyến n_p→ = (-A; B; -C) là:

-A(x + x₀) + B(y - y₀) - C(z + z₀) = 0

⇔ A(x + x₀) - B(y - y₀) + C(z + z₀) = 0

Câu 17: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-2 ;1 ;-2) và vuông góc với trục Oz.

A. x + y + 1 = 0   

B. -2x + y - z + 1 = 0

C. z - 1 = 0   

D. z + 2 = 0

Do mặt phẳng (P ) vuông góc trục Oz nên mặt phẳng này nhận vecto k→ = (0; 0; 1) làm vecto pháp tuyến.

Lại có:

Điểm A(-2 ; 1 ; -2) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình (P): 0(x + 2) + 0( y - 1) + 1(z + 2)= 0 hay z + 2= 0

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;2;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là:

A. 1   

B. 2   

C. 3   

D. 4

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 . Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Vì M(3 ;2 ;1) thuộc (P) nên ta có :

Vì tam giác ABC đều nên ta có :

⇔ a² = b² = c² ⇔ a = b= c (do a, b, c > 0)

Thay a = b = c vào phương trình (*) ta được

Suy ra: a = b = c = 6. Vậy có một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm là A(2;0;0), M(1;1;1). Cho (P) cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho thể tích của từ diện OABC nhỏ nhất.

Gọi B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c > 0.

Ta có: OA = 2; OB = b; OC = c

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (-1; 3; 4), v→ = (2; -1; 5). Tích có hướng của hai vectơ u→ và v→ là:

Hai vectơ u→ = (-1; 3; 4), v→ = (2; -1; 5)

Thì tích có hướng của hai vectơ u→ và v→ là:

[u→,v→] = (19; 13; -5)

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là x - 2y + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Mặt phẳng (P) có phương trình là x - 2y + 2 = 0 . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n₃→ = (1; -2; 0)

Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Câu 23: Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (Oxy) là:

A. x=0   

B. y=0   

C. z=0   

D. x+y=0

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z = 0.

Câu 24: Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy) là:

A. x – 1 = 0   

B. y + 2 = 0   

C. z – 3 = 0   

D. Đáp án khác

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: z = 0.

Mặt phẳng này có vecto pháp tuyến là: k→ = (0; 0; 1)

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Oxy)

nên mặt phẳng này nhận vecto n_p→ = k→ = (0; 0; 1) làm vecto pháp tuyến.

Mặt khác (P) đi qua điểm M(1;-2;3) nên (P) có phương trình là:

1.(z - 3) = 0 ⇔ z - 3 = 0

Câu 25: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;3) và song song với mặt phẳng (Q) :

B. x - 2y + 3z - 15 = 0

C. 3x - 6y + 2z - 18 = 0

D. 3x - 6y + 2z + 18 = 0

Phương trình mặt phẳng (Q) viết lại dưới dạng: 3x - 6y + 2z - 6 = 0

Do đó ta có thể chọn

Vì mp (P) // mp(Q) nên mp(P) có VTPT là

Suy ra đáp án B sai. Trong ba đáp án còn lại chỉ có mặt phẳng ở đáp án C đi qua điểm A.

Câu 26: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;-2) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x - y + 2z = 0

A. 2x - y + 2z - 1 = 0    

B. 2x - y + 2z + 9 = 0

C. 2x - y - 2z + 1 = 0   

D. 2x - y + 2z + 1 = 0

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : 2x – y + 2z = 0 nên mặt phẳng (P) có dạng : 2x – y + 2z + d = 0

Mà mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; -1; -2) nên:

2.2 –(-1) + 2.(-2) + d = 0 nên d = -1

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y + 2z – 1= 0

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC

A. 6x - 3y -2z - 6 = 0

B. x - 2y + 3z + 14 = 0

D. x - 2y + 3z - 14 = 0

Ta có: OA → OB, OC => OA → (OBC) => OA → BC

Mặt khác vì AM → BC (M là trực tâm tam giác ABC) nên ta suy ra BC → (OAM) => BC → OM

Chứng minh tương tự ta được AC → OM. Do đó OM → (ABC). Ta chọn: n_p→ = OM→ = (1; -2; 3)

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là:

1(x - 1) - 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0 ⇔ x - 2y + 3z - 14 = 0

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ;0 ;-2), B(-1 ;1 ;2). Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

A. 2x - y - 4z - 10 = 0    

B. 2x - y - 4z + 10 = 0    

C. x - y - 2z - 5 = 0

D. 2x - y - 3z + 8 = 0

Do (P) → AB nên mp(P) có một vectơ pháp tuyến là

Mặt khác (P) đi qua điểm A nên phương trình của mặt phẳng (P) là

-2(x - 1) + (y - 0) + 4(z + 2) = 0 ⇔ 2x - y - 4z - 10 = 0

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-2), B(1;1;2). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. y - 2z - 2 = 0   

B. y - 2z - 7 = 0   

C. y - 2z + 3 = 0   

D. 2y + z - 4 = 0

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB.

Ta có:

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

0(x - 1) - 2(y - 2) + 4(z - 0) = 0

⇔ -2y + 4z + 4 = 0 ⇔ y - 2z - 2 = 0

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. M₁(1; 0; 0)

B. M₂(0; 2; 0)

C. M₃(0; 0; 3)

D.Phương trình của mặt phẳng (M₁M₂M₃) là:

Với điểm M(1;-2;3). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz thì tọa độ M₁(1; 0; 0); M₂ (0 ;-2; 0) và M₃( 0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng M₁M₂M₃ là:

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu vuông góc của điểm A trên các trục tọa độ:

Với điểm A(2;-3;4). Hình chiếu của A trên 3 trục tọa độ lần lượt là:

B(2; 0; 0); C( 0; -3; 0) và D( 0; 0; 4).

Phương trình mặt phẳng (BCD)là:

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua M sao cho (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và M là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Vì M(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

Câu 33: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;1) và chứa trục Ox

A. x - 1 = 0   

B. y = 0   

C. z - 1 = 0    

D. x + z - 1 = 0

Từ giả thiết suy ra

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(y - 0) = 0 ⇔ y = 0

Câu 34:Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng -mx + 3y + 2z + m - 6 = 0 và -2x + (5m + 1)y + (m + 3)z - 10 = 0. Hai mặt phẳng này cắt nhau khi và chỉ khi:

A. m ≠ -4   B. m ≠ -6/5   C. m ≠ 1   D. Mọi m

Gọi hai mặt phẳng đã cho lần lượt là (P) và (Q). Ta có

Hai vectơ này song song khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho

Từ đó suy ra hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng không song song, điều đó tương đương với m khác 1.

Câu 35: Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng 3x + 2y - mz + 2m - 7 = 0 và (5m + 1)x + (m + 3)y - 2z - 10 = 0. Trùng nhau khi và chỉ khi:

A. m = -4    

B. m = -6/5

C. m = 1    

D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn

Hai mặt phẳng 3x + 2y - mz + 2m - 7 = 0 và (5m + 1)x + (m + 3)y - 2z - 10 = 0 trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho :

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y + 2z + 1 = 0 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là:

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(2;3;-1), C(0;3;-2). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Từ giả thiết ta suy ra

Từ đó suy ra n_p = (2; -5; -4)→ là một vectơ pháp tuyến của (P)

Câu 38: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;1), B(0;-1;-3), C(2;1;3)

A. x - y - 1 = 0   

B. x - y + 1 = 0   

C. x + z - 2 = 0    

D. x + y - 1 = 0

Từ giả thiết ta suy ra:

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 1) - 1(y - 0) = 0 ⇔ x - y - 1 = 0

Câu 39: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3), vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y - 3z = 0 đồng thời (P) song song với trục Oz

A. x + y - 3 = 0    

B. x - y - 1 = 0    

C. 2x + y + 3z - 1 = 0    

D. x - y + 1 = 0

Từ giả thiết ta suy ra:

Mặt khác mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;3) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là: 1(x- 2) - 1(y - 1) = 0 ⇔ x - y - 1 = 0

Câu 40: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;6;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng (Oxy), (Oyz) là:

A. 2x - 4 = 0    

B. y - 6 = 0    

C. z + 3 = 0    

D. 2x - 6y - 3z - 49 = 0

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Oxy) (Oyz) = Oy nên ta có (P) → Oy = > n_p→ = j→ = (0; 1; 0)

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là : 0(x - 2) + 1(y - 6 ) + 0(z + 3) = 0 ⇔ y - 6 = 0

Câu 41: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 3z = 0, (R): 2x - y - z = 0

A. 4x + 5y + 3z + 22 = 0    

B. 4x - 5y + 3z - 12 = 0

C. 2x + y + 3z - 22 = 0   

D. 4x + 5y + 3z - 22 = 0

Từ giả thiết suy ra:

Mặt khác mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2 ;1 ;3) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là:

4(x - 2) + 5(y - 1) + 3(z - 3) = 0 ⇔ 4x + 5y + 3z - 22 = 0

Câu 42: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(2;1;3), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y - 3z = 0

A. x - y - 1 = 0   

B. x + y - 1 = 0   

C. x + z - 1 = 0    

D. x + y - 3z + 2 = 0

Từ giả thiết suy ra:

Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là:

1(x - 1) - 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0 ⇔ x - y - 1 = 0

Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt có phương trình là (m² + m)x - (m + 2)y + z = 0; x + y + z = 0; 2x + y - z = 0 và , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R)?

A. m = 1   

B. m = -1

 C. m = -3/2   

D. m = -3/2 hoặc m = -1

Ta có:

Mặt phẳng (P) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R) khi và chỉ khi

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x + (m² - 2m)y + (m - 1)z + m² + m = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Oy?

A. m = 0   

B. m = 2   

C. m = 0 hoặc m = 2   

D. m = 1

Ta có n_p→ = (1; m² - 2m; m - 1). Mặt phẳng (P) song song với trục Oy khi và chỉ khi

Ta có:

Từ đó ta được m = 2. Vậy đáp án B là đúng

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + (2m - 4)z + m² - m = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì (P) song song với trục Oz?

A. m = 2   

B. m = 0    

C. m = 1   

D. Không tồn tại m

Mặt phẳng (P) song song với trục Oz khi và chỉ khi

Mà n_p→ = (2; -3; 2m - 4) nên: 2.0 + (-3).0 + (2m - 4). 1 = 0

Hay 2m - 4 = 0 nên m = 2

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là x + my + (m + 3)z + 1 = 0; x - y + 2z = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q)?

A. m = -1   

B. m = 0   

C. m = -7   

D. Không tồn tại m

Ta có: n_p→ = (1; m; m + 3), n_Q→ = (1; -1; 2).

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc khi và chỉ khi n_p→.n_Q→ = 0

⇔ 1.1 + m.(-1) + (m + 3).2 = 0 ⇔ m + 7 = 0 ⇔ m = -7

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là x - y + 2z = 0; 2x - 2y + (m² + 3m)z + m² - m = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song?

A. m = 1   

B. m = -4   

C. m = 1 hoặc m = -4   

D. m = 0

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là :

n_p→(1; -1; 2); n_q→(2; -2; m² + 3m)

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho:

n_q→ = k.n_p→

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : (P): x - 2y - 2z + 1 = 0, (Q): 2x - 4y - 4z + m = 0. Tìm các giá trị của m biết rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 1

A. m=8   

B. m=38

C. m=8 hoặc m=-4   

D. m=38 hoặc m=-34

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 1 và mặt phẳng (P): -x + 2y + 2z + 28 = 0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) lớn nhất là:

A. 10   

B. 8   

C. 11   

D. 9

Mặt cầu (S) có tâm I(1 ;2 ;-2) và có bán kính R=1. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là

Do đó mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).

Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và I trên mặt phẳng (P). Ta có:

d(A; (P)) = AK ≤ AH ≤ IA + IH = R + h = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là giao điểm của tia đối của tia IH với mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.

Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4y + 12 = 0 . Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(1;0;3) và (S) giao (P) theo một đường tròn có bán kính r=4

A. (x - 1)² + y² + (z - 3)² = 25   

B. (x + 1)² + y² + (z + 3)² = 25  

C. (x - 1)² + y² + (z - 3)² = 5 

D. (x + 1)² + y² + (z + 3)² = 5

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là :

Bán kính của mặt cầu (S) là :

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là : (x -1)² + y² + (z - 3)² = 25

Câu 51: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y - 1)² + (z + 2)² = 25 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + m = 0 . Tìm m sao cho (P) giao (S) theo một đường tròn có bán kính r=3 là:

A. m=16   C. m=40

B. m=16 hoặc m=-8   

D. m=40 hoặc m=32

Mặt cầu (S) có tâm I(0 ; 1 ; -2) và bán kính R = 5

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là :

Câu 52: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): 4x - 3y - 8 = 0 và (Q): 8x - 6y - 1 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

Lấy một điểm M(2 ;0 ;0)∈(P). Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nên ta có :

Câu 53: Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm M cách đều hai mặt phẳng tọa độ (Oxy) và (Oxz) là hai mặt phẳng có phương trình:

A. y+z=0 và y-z=0   

B. x+y=0 và x-y=0

C. x+z=0 và x-z=0   

D. y+2z=0 và y-2z=0

Phương trình của hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) lần lượt là z = 0 và y = 0.

Điểm M(x ;y ;z) cách đều hai mặt phẳng đó khi và chỉ khi

Câu 54: Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P): x + 3y - 4z + 1 = 0 và (Q): x + 3y - 4z + 7 = 0 là :

A. x + 3y - 4z + 8 = 0    

B. x + 3y - 4z + 6 = 0   

C. x + 3y - 4z + 4 = 0

D. x + 3y - 4z - 6 = 0

Điểm M(x,y,z) cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) khi và chỉ khi

Câu 55: Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm M cách đều hai mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 1 = 0 và (Q): 3x + y + 2z - 3 = 0 là hai mặt phẳng có phương trình là :

A. x - 2y + z - 2 = 0 và 5x + 4y + 4z - 4 = 0

B. x - 2y + z - 2 = 0 và 5x + 4y + 3z - 4 = 0

C. x - 3y + z - 2 = 0 và 5x + 4y + 3z - 4 = 0

D. x + 2y + z - 2 = 0 và 5x + 4y + 3z - 4 = 0

Điểm M(x,y,z) cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) khi và chỉ khi :

d(M ; (P)) = d(M ; (Q))

Câu 56: Trong không gian Oxyz, biết rằng trục Ox song song với mặt phẳng (P) : y + z - 1 = 0 . Khoảng cách giữa Ox và mặt phẳng (P) là :

Vì Ox song song với mặt phẳng (P) và O thuộc Ox nên ta có :

Câu 57: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ;-2 ;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + m = 0 . Tìm các giá trị của m, biết rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 1

A. m=12   

B. m=18

C. m=18 hoặc m=0   

D. m=12 hoặc m=6

Câu 58: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua điểm M(1;2;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) lớn nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (P). Ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H trùng M.

Ta chọn n_p→ = a→ = (1; 2; -3). Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là :

1(x - 1) + 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0 ⇔ x + 2y - 3z - 14 = 0

Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên mặt phẳng (P): 2x - y - 2z = 0 , điểm B di động trên mặt phẳng (Q): 4x - 2y - 4z - 9 = 0 . Khoảng cách giữa hai điểm A và B nhỏ nhất là:

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm A và B chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), dấu bằng xày ra khi và chỉ khi AB vuông góc với (P). Mặt khác vì O thuộc (P) nên ta có :

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B nhỏ nhất bằng 3/2

Câu 60: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 3z + 1 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x - 4y + 6z + 5 = 0 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. (P) giao (S) theo một đường tròn   

B. (P) tiếp xúc với (S)

C. (P) không cắt (S)   

D. Cả ba khẳng định trên đều sai

Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính là

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là :

Do đó mặt phẳng (P) giao với mặt cầu (S) theo một đường tròn.

Câu 61: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 1 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x + 4y - 6z + 10 = 0 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. (P) và (S) có vô số điểm chung   

B. (P) tiếp xúc với (S)

C. (P) không cắt (S)   

D. Cả ba khẳng định trên đều sai

Mặt cầu (S) có tâm I(-1 ;-2 ;3) và có bán kính là

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là :

Do đó (P) tiếp xúc với (S)

Câu 62: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 2)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4 và mặt phẳng (P): 4x - 3y + m = 0 . Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng một điểm chung?

A. m=-1   

B. m=9 hoặc m=-31

C. m=1 hoặc m=21   

D. m=-1 hoặc m=-21

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;-2) và có bán kính R=2. Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng một điểm chung khi và chỉ khi (P) tiếp xúc với (S), từ đó ta được:

Câu 63: Trong không gian Oxyz, tìm những điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): x - 2y - 2z + 1 = 0 bằng 2

A. M(5;0;0) hoặc M(-7;0;0)   

B. M(17;0;0) hoặc M(-19;0;0)

C. M(5;0;0)   

D. M(17;0;0)

Gọi M(m;0;0) ta có:

Vậy M(5;0;0) hoặc M(-7;0;0)

Câu 64: Trong không gian Oxyz, tìm những điểm M trên tia Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1 = 0 bằng 3

A. M(0;13;0)   

B. M(0;-5;0) 

C. M(0;4;0) hoặc M(0;-5;0)  

D. M(0;4;0)

Gọi M(0;m;0) với m > 0 ta có:

Kết hợp với điều kiện m > 0 ta được m=4. Vậy M(0;4;0)

Câu 65: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 2 = 0. Lập phương trình các mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

A. 2x - y - 2z + 16 = 0    

B. 2x - y - 2z + 20 = 0 

C. 2x - y - 2z - 34 = 0  

D. 2x - y - 2z - 16 = 0

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mp(Q) có dạng 2x - y - 2z + m = 0 với m khác 2

Mặt cầu (S) tâm I(1;-1;-2) và có bán kính R=3. Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

Kết hợp với điều kiện m khác 2 ta được m=-16. Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là: 2x - y - 2z - 16 = 0

Câu 66: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua điểm M(2;1;3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC là:

A. 54   

B. 6   

C. 27   

D. 81

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c > 0. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết M(2; 1; 3) ∈ (P)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy đáp án đúng là C