Bài 1: Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. log_ba < 1 < log_ab   

C. log_ab < 1 < log_ba

B. log_ba < log_ab < 1    

D. 1 < log_ab < log_ba

Đặt c = b - a ta có c > 0.

Vì 0 < a < b < 1 nên các hàm số y = log_ax và log_bx nghịch biến trên (0; +∞) nên ta có log_ab = log_a(a + c) < log_aa = 1 và log_ba = log_b(b - c) > log_bb = 1.

Vậy log_ab < a < log_ba

Chọn đáp án C.

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số y = log₅(x - 2x²)

A. D = (0; 2)    

C. D = (0; 1/2)

B. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)    

D. D = (-∞; 0) ∪ (1/2; +∞)

Điều kiện để hàm số xác định x - 2x² > 0 <=> 2x² - x < 0 <=> 0 < x < 1/2 .

Vậy miền xác định là D = (0; 1/2)

Bài 3: Tìm miền xác định của hàm số

Điều kiện

Miền xác định là

Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lưu ý rằng 1 < √2 < e < π

+ π > 1 ⇒ y = π^x là hàm đồng biến.

⇒ π > π

Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?

Bài 6: Viết các số

theo thứ tự tăng dần

Ta có -1 < 0 < √2 < π và 0 < 1/3 < 1 nên

Chọn đáp án A.

Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số y = log₅(xe^x)

Để thuận tiện, ta viết lại

Chọn đáp án D

Bài 8: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²e^-4x

Tập xác định R.

Ta có:

y' = 2xe^-4x + x²e^-4x(-4) = 2e^-4xx(1 - 2x)

Bảng biến thiên

Khoảng đồng biến của hàm số là (0; 1/2) .

Chọn đáp án C

Bài 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3ln(x +1) + x - x²/2

A.(-1; 2)   

C. (-2 ;-1) và (2; +∞)

B. (2; +∞)   

D. (-∞; -2) và (-1 ;2)

Tập xác định : (-1; +∞)

Bảng biến thiên :

Kết hợp điều kiện, x > -1.

Từ đó, khoảng nghịch biến của hàm số là(2; +∞) .

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1):

(I) Cắt trục hoành

(II) Cắt trục tung

(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?

A. Chỉ có (I), (II) và (III)    

C. Chỉ có (II) và (IV)

B. Chỉ có (II), (III) và (IV)    

D. Chỉ có (I) và (III)

Đồ thị hàm số y = log_ax luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ;0), luôn nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Vậy chỉ có (I) và (III) đúng

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³e^-2x trên đoạn [-1; 4]

y' = 3x²e^-2x + x³e^-2x(-2) = 3x²e^-2x - 2x³e^-2x = x²(3 - 2x)e^-2x

y'= 0 <=> x = 0 (loại) hoặc x = 3/2

Ta có

Chọn đáp án A

Bài 12: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)^t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

A. 1200 và 4700 cá thể    

C. 1200 và 1400 cá thể

B. 1400 và 4800 cá thể    

D. 1200 và 4800 cá thể

Số lượng ban đầu: N(0) = 1200.(1,148)⁰ = 1200 cá thể

Số lượng sau 10 ngày: N(10) = 1200.(1,148)¹⁰ ≈ 4771 ≈4800 cá thể

Chọn đáp án D.

Bài 13: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

A. 37,94 triệu người   

C. 38,42 triệu người

B. 37,31 triệu người   

D. 39,88 triệu người

Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm). Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20. Số cần tìm

Chọn đáp án A

Bài 14: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

A. 101119000 người    

C. 103870000 người

B. 103681000 người    

D. 106969000 người

Công thức tính dân số theo dữ kiện đã cho là: N(t) = 80902000.e^0,0147t ở đó thời gian t tính bằng năm và t = 0 ứng với đầu năm 2003.

Ta có 2020 – 2003 = 17.

Vậy năm 2020 ứng với t = 17

Dân số năm 2020 tính theo dữ kiện đã cho : N(17) = 80902000.e^17.0,0147t ≈ 103870000 người.

Chọn đáp án C.

Bài 15: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

với mọi t ≥ 0 nên c(t) tăng trên [0; +∞] , nghĩa là nồng độ c ngày càng tăng.

Chọn đáp án B.

Bài 16: Cho các hàm số:

(I) y = (0,3)^-x   (II) y = (1,3)^-2x

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

A. Chỉ có (I) và (II)    

C. Chỉ có (IV)

B. Chỉ có (I) và (IV)   

D. Chỉ có (II) và (III)

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = a^x :

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Bài 18: Cho hàm số y = x²e^-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

y' = e^-xx(2 - x). Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Bài 19: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = 0    

C. y = 0 và y = 3/2

B. y = 3    

D. y = 0 và y = 3

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3/2 và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = 3/2; y = 0

Bài 20: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

A. N(t) = 200.t³    

C. N(t) = 200.e^3t

B. N(t) = 200.3^t    

D. N(t) = 200.e^t/3

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là N(t) = 200.3t

Bài 21: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x² + 1)

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; 1/2) và (2; +∞)

Bài 22: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Hỏi sau 3 năm trong tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?

A. 60200000 đồng    

C. 61280000 đồng

B. 60909000 đồng    

D. 61315000 đồng

Số tiền trong tài khoản người đó sau n năm nếu người đó không rút tiền và lãi suất không thay đôỉ được tính theo công thức : P(t) = 50000000(1 + 0,068)^t (đồng)

Số tiền cần tính : P(3) = 50000000(1 + 0,068)³ ≈ 60909000(đồng)

Bài 23: Cho hai số thực a và b, với 0 < a < 1 < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. log_ba + log_ab < 0    

C. log_ba + log_ab = 0

B. 0 < log_ba + log_ab < 2    

D. log_ba + log_ab ≥ 2

Do 0 < a < 1 nên hàm số y = log_ax nghịch biến, còn hàm số y = log_bx đồng biến trên (0; +∞). Ta có log_ab < log_a1 = 0 và log_ba < log_b1 = 0.

Do đó log_ab + log_ba < 0

Bài 24: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² - 2x + ln(2x + 1) trên [0; 1]

Bài 25: Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?

A. 96,66 triệu người   

C. 96,80 triệu người

B. 96,77 triệu người   

D. 97,85 triệu người

Dân số lúc đó: 91,71.e^5.0,0108 ≈ 96,80 triệu người

Bài 26: Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức

Tìm số lượng cá thể vi khuẩn lớn nhất (kí hiệu M) và nhỏ nhất (kí hiệu m) của mẻ cấy này trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 100

A. M = 161788, m = 128369    

C. M = 225000, m = 125000

B. M = 161788, m = 125000   

D. M = 225000, m = 128369

N'(t) = 250(20 - t)e^-t/20; N'(t) = 0 <=> t = 20

Ta có: N(0) = 125000, N(20) ≈ 161788, N(100) ≈ 128369

Từ đó M = 161788 và m = 12500

Bài 27: Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức

Phát biểu nào sau đây (về quần thể vi khuẩn nói trên) là đúng ?

A. Số lượng cá thể ngày càng tăng dần

B. Số lượng cá thể ngày càng giảm dần

C. Số lượng cá thể tăng trong khoảng thời gian đầu, sau đó giảm dần

D. Số lượng cá thể giảm trong khoảng thời gian đầu, sau đó tăng dần.

Vì 0 < 3/4 < 1 nên hàm số N(t) = 5000.(3/4)^t, t ∈ [0; +∞) nghịch biến (trên [0; +∞) ). Do đó, số lượng cá thể ngày càng giảm dần

Bài 28: Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e^-0,12t (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)

A. 532 và 329 (triệu đồng)    

C. 600 và 292 (triệu đồng)

B. 532 và 292 (triệu đồng)    

D. 600 và 329 (triệu đồng)

Giá trị xe lúc mua: G(0) = 600 triệu đồng

Giá trị xe sau khi mua 5 năm : G(5) = 600.e^-0,12.5 ≈ 329 triệu đồng

Bài 29: Tìm đạo hàm của hàm số y = x.2^3x

A. y' = 2^3x(1 + 3xln2)    

C. y' = 2^3x(1 + 3ln3)

B. y' = 2^3x(1 + xln2)    

D. y' = 2^3x(1 + xln3)

y' = 2^3x + x.2^3x.ln(2)3 = 2^3x(1 + 3xln2)

Bài 30: Tính đạo hàm của hàm số

Bài 31: Tìm đạo hàm của hàm số

Để thuận tiện, ta viết lại

Bài 32: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe^-2x + 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

A. y = x + 2    

B. y = x    

C. y = 2x + 2    

D. y = -2x + 2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0 ; 2).

y' = e^-2x(1 - 2x); y'(0) = 1, y(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 1(x - 0) + 2 hay y = x + 2