Bài 1: Tìm m để y = x³ - 3x² +mx - 1 có hai điểm cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn

y' = 3x² - 6x + m.

Hàm số có cực trị khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt :

Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (√3)^x2

y' = (√3)^x2.ln√3(x²)'

Bài 3: Nếu 4^x - 4^{x - 1} = 24 thì (2x)^x bằng

A. 5√5   

B. 25   

C. 25√5   

D. 125.

Bài 4: Giải phương trình log₃x + log₉x + log₈₁x = 7

A. x = 27  

B. x = 81   

C. x = 729    

D. x = 243

Bài 5: Nếu (log₃x)(log_2xy) = log_xx² thì y bằng

A. 9   

B. 9/2    

C. 18   

D. 81

Điều kiện : x > 0 ; y > 0.

Bài 6: Tìm miền xác định của hàm số 

A. D = (1; +∞)\{e^e}   

B. D = (0; +∞)\{e}

C. D = (e^e; +∞)   

D. D = (1; +∞)\{e}

Điều kiện

Vậy miền xác định của hàm số là D = (1; +∞)\{e^e}

Bài 7: Ngày 15 tháng 2 năm 2010 ông A gửi vào ngân hàng 500 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 10,3% một năm. Tại thời điểm đó ông A dự tính sẽ rút hết tiền ra vào 15 tháng 2 năm 2013. Nếu trong khoảng thời gian đó lãi suất không thay đổi thì số tiền mà ông A rút được là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng nghìn.

A. 608305000 đồng.    

B. 665500000 đồng.

C. 670960000 đồng.    

D. 740069000 đồng.

Sau 3 năm từ 2010 đến 2013, số tiền ông A rút được : 500000000.(1 + 0,103)³ = 670959863 ≈ 970960000 (đồng)

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x²e^-x trên đoạn [-1; 4]

y' = 2xe^-x - x²e^-x = xe^-x(2 - x); y' = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2

y(-1) = e, y(0) = 0, y(2) = 4/e², y(4) = 16/e⁴

Bài 9: Tìm tập nghiệm của phương trình log(x + 3) + log(x - 1) = log(x² - 2x -3)

A. ∅    

B. {0}    

C. R    

D. (1; +∞)

Điều kiện x > 3. Khi đó: log(x + 3) + log(x - 1) = log(x² - 2x - 3)

<=> log[(x + 3)(x - 1)] = log(x² - 2x - 3) <=> x² + 2x - 3 = x² - 2x + 3

<=> 4x = 0 <=> x = 0 (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 10: Tính giá trị biểu thức log₃5.log₄9.log₅2

A. 1/2    

B. 1   

C. 2   

D. 3

log₃5. log₄9. log₅2 = (log₃5.log₅2).log_2²3² = log₃2.log₂3 = 1

Bài 11: Tìm m để hàm số y = (1/3)x³ - x² - mx + 1 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

A. m < - 1   

B. m > -1    

C. m ≤ -1    

D. m > -1

Tập xác định : D = R

Ta có : y'=x² - 2x - m

Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

y' = x² - 2x - m ≥ 0, ∀ x ⇔ Δ' = 1 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ -1

Bài 12: Tìm m để phương trình |x³ + 3x² - 9x + 2| = m có 6 nghiệm phân biệt

A. 0 < m < 3   

B. m = 3    

C. 3 < m < 29   

D. m > -3

Vẽ đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 9x + 2 (C)

Giữ phần đồ thị (C) phía trên trục Ox, lấy đối xứng phần đồ thị (C) dưới trục Ox qua trục Ox.

Bỏ phần đồ thị dưới trục Ox ta được đồ thị y = |x³ + 3x² – 9x + 2|.

Dựa vào đồ thị ta có đáp án A.

Bài 13: Tìm m để hàm số y = -x³ + (2m + 1)x² - (m² - 3m +2)x - 4 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung

A. m ∈ (1; 2)    

B. m ∈ [1; 2]

C. m ∈ (- ∞; 1) ∪ (2; +∞)   

D. m ∈ (- ∞; 1] ∪ [2; +∞)

y' = -3x² + 2(2m + 1)x - m² + 3m - 2

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

Bài 14: Tìm m để hàm số y = x³ - 3mx² + 12x - 2 nghịch biến trên khoảng (1; 4)

A. m ≥ 5/2   

B. m ≤ 5/2   

C. m ≤ 2    

D. Đáp án khác

Tìm m để hàm số y = x³ - 3mx² + 12x - 2 nghịch biến trên khoảng ( 1; 4)

y' = 3x² - 6mx + 12 = 3(x² - 2mx + 4)

y' = 0 ⇔ x² - 2mx + 4 = 0

Đặt f(x) = x² – 2mx + 4

* Trường hợp 1:

y' ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ Δ' = m² - 4 ≤ 0 ⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Khi đó hàm số đã cho nghịch biến trên R.

* Trường hợp 2. Giả sử phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ . Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 4) khi

x₁ ≤ 1 < 4 ≤ x₂

Bài 15: Đồ thị hàm số

có đường tiệm cận ngang có phương trình là

A. y = 1  

B. y = 0   

C. y = 1/2    

D. y = ±1/2

Ta có:

Bài 16: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung bằng

A. –2    

B. 2    

C. 1    

D. –1.

Giao điểm với trục tung B(0 ;-1). Ta có

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung bằng k = 2.

Bài 17: Cho đồ thị hàm số y = x³ - 2x² + 2x . Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = -x + 2016. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

Ta có y' = 3x² - 4x + 2

Do tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = -x + 2016 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1

Bài 18: Cho hàm số y = x³ - 3x + 2 (C) . Tìm phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 0).

A. y = 0    

B. y = x + 1   

C. y = x - 1   

D. y = 2

Ta có: y’ = 3x² – 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A (x₀; x₀³ - 3x₀ + 2) là:

y = (3x₀² - 3)(x - x₀) + x₀³ - 3x₀ + 2 (*)

Để tiếp tuyến này đi qua điểm (-1; 0) thì:

0 = (3x₀² - 3)(-1 - x₀) + x₀³ - 3x₀ + 2

⇔ 0 = -3x₀² - 3x₀³ + 3 + 3x₀ + x₀³ - 3x₀ + 2

⇔ -2x₀³ - 3x₀² + 5 = 0 ⇒ x₀ = 1

Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là :y = 0

Bài 19: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + mx + 2m cắt đường thẳng y = -x + 2 tại 3 điểm.

Chọn đáp án C

Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số

có đường tiệm cận ngang

A. m ≠ 0   

B. m ≠ ±1   

C. m ≠ 1    

D. Cả A và B.

* Nếu m = 0 thì y = x nên hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

* Nếu m = 1 thì y = 1 nên hàm số không có tiệm cận ngang.

* Nếu m = -1 thì y = -1 nên hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy để hàm số đã cho có tiệm cận ngang thì m ≠ 0 và m ≠ ±1;

Bài 21: Hàm số y = (x - 1)e^x với x ∈ [-1; 1] đạt giá trị lớn nhất tại x bằng

A. 1    

B. -1   

C. 0   

D. 1/2

Vẽ đồ thị y' = xe^x. y' = 0 => x = 0

y(0) = -1; y(-1) = -2/e; y(1) = 0

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x = 1.

Bài 22: Hàm số

đạt giá trị lớn nhất tại x bằng

A. 1    

B. 1/2    

C. -2   

D. -1.

Ta có:

Bài 23: Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴ - 2m²x² + 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông.

A. m = ± 1   

B. m = ± 2    

C. m = 3    

D. Đáp án khác.

Chọn đáp án A

Bài 24: Số phức z = a + bi có phần thực, phần ảo là các số nguyên và thỏa mãn: z³ = 2 + 11i. Giá trị biểu thức T = a + b là

A. 2    

B. 3    

C. 4    

D. 5

Ta có: z³ = a³ + 3a²bi + 3ab²i² + b³i³ = a³ - 3ab² + (3a²b - b³)i

Lại có:

Từ phương trình thứ nhất ta có: a(a² - 3b²). Vì a,b nguyên nên a là ước của 2.

Nếu a=1 thì 1 - 3b² = 2. Suy ra b² = -1/3 ∉ Z (loại)

Nếu a=-1 thì b = ±1 , không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.

Nếu a=-2 thì b² = 5/3 ∉ Z (loại).

Nếu a=2 thì b = ±1 . Kết hợp với phương trình thứ hai ta có: a = 2, b = 1

Vậy T = 3

Bài 25: Biến đổi

Khi đó, f(t) là hàm nào trong các hàm số sau?

A. f(t) = 2t² - 2t   

B. f(t) = t² + t   

C. f(t) = t² - t   

D. f(t) = 2t² + 2t

Ta có:

Bài 26: Diện tích hình giới hạn bởi đường cong y = x² + 1 tiếp tuyến với đường cong này tại M(2; 5) và trục là:

A. 0    

B. -8/3    

C. 8/3    

D. Kết quả khác.

Ta có : y’ = 2x nên y'(2) = 4

Phương trình tiếp tuyến với y = x² + 1 tại M(2 ;5) là :

y = y'(2)(x - 2) + 5 => y = 4(x - 2) + 5 = 4x - 3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :

x² + 1 = 4x - 3 => x = 2 .

Ta có diện tích hình phẳng cần tính là:

Bài 27: Thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4/x, y = 0, x = 1, x = 4 quanh trục Ox là:

A. 6π   

B. 4π    

C. 12π    

D. 8π

Bài 28: Thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

quanh trục Ox là:

A. π(e² + e)   

B. π(e² - e)    

C. πe²    

D. πe

Bài 29: Phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn z− = (1 + 2i)² + (1 - 2i)³ là

A. 14 và 6i   

B. –14 và 6    

C. 14 và – 6    

D. –14 và –6.

Ta có:

Suy ra z = -14 - 6i. Vậy phần thực và phần ảo của z là: -14 và - 6

Bài 30: Thực hiện phép tính T = 3i(5 + 2i) + (2 - 5i)(3 + 7i) ta có:

A. T = 35 + 14i   

B. T = 35 - 24i    

C. T = -35 + 14i  

D. T = -35 - 14i

Ta có: T = 3i(5 + 2i) + (2 - 5i)(3 + 7i)

T = 15i + 6i² + 6 + 14i - 15i - 35i² = 15i - 6 + 6 + 14i - 15i + 35 = 35 + 14i

Bài 31: Thực hiện phép tính

A. T = 1 + i   

B. T = 1 - i   

C. T = -1 + i  

D. T = -1 - i

Ta có

Bài 32: Các số thực x, y thỏa mãn: (x + 2y) + (2x - y)i = 6 + 7i. Giá trị biểu thức T = x + y bằng:

A. 4    

B. 5   

C. 6    

D. 7.

Ta có: (x + 2y) + (2x - y)i = 6 + 7i

Vậy: T = 4 + 1 = 5

Bài 33: Phương trình z² - 8z + 20 = 0 có hai nghiệm là

A. 8 ± 4i   

B. -8 ± 4i    

C. -4 ± 2i   

D. 4 ± 2i

Bài 34: Cho  Khẳng định nào sai?

Dễ thấy B, C, D là các khẳng định đúng, còn khẳng định A sai vì đổi biến mà không đổi cận

Bài 35: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |i(z - 1) + 2| = |3 - 4i| là

A. Đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 5

B. Đường tròn tâm I(1; -2) bán kính R = 5

C. Đường tròn tâm I(-1; 2) bán kính R = 5

D. Đường tròn tâm I(-1; -2) bán kính R = 5

Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có:

Do đó: |i(z - 1) + 2| = |3 - 4i| <=> (a - 1)² + (b - 2)² = 25

Tập hợp các điểm M(a,b) biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I(1;2), bán kính là R=5

Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn |z− + 1 - i| = |z|. Giá trị nhỏ nhất của môđun của z là

Cho số phức z thỏa mãn: |z− + 1 - i| = |z|

Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) . Ta có: z− + 1 - i = a - bi + 1 - i = a + 1 - (b + 1)i

Từ giả thiết ta có :

(a + 1)² + (b + 1)² = a² + b² ⇔ a² + 2a + 1 + b² + 2b + 1 = a² + b²

⇔ 2a + 2b + 2 = 0 ⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ b = -1 - a

Khi đó |z|² = a² + b² = a² + ( -1 - a)² = 2a² + 2a + 1

Từ đó suy ra môđun của z nhỏ nhất bằng 1/√2

Bài 37: Biết rằng log_MN = log_NM và N ≠ . Tính giá trị của MN.

A. -1    

B. 1    

C. 2   

D. 10

log_MN = log_NM

Bài 38: Biết:

Khi đó a^p bằng

A. log_ab   B. a^log_ba   C. log_ba   D. b

plog_ba = log_b(log_ba) => log_ba^p = log_b(log_ba)

=> a^p = log_ba

Bài 39: Giả sử x là nghiệm của phương trình log_x25 - log_x4 = log_x√x.

Điều kiện 9 < x ≠ 1

log_x25 - log_x4 = log_x√x

Bài 40: Điện tích (tính bằng culông) được tích trong các tấm của một tụ điện bị rò sau thời gian t giây được xác đinh bởi công thức Q(t) = Q₀.(1,122)^-1 trong đó Q₀ là điện tích ban đầu. Sau bao lâu thì điện tích trong tụ còn một nửa (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

A. 5 giây    

B. 6 giây   

C. 8 giây   

D. 10 giây.

Khi điện tích trong tụ còn một nửa thì 

Ta có:

Bài 41: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (1; 3) 

B. (-1; 3)   

C. (-1; 1) ∪ (3; +∞)    

D. (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Bài 42: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (1 - √5; 1 + √5)    

B. (1 - √5; -1) ∪ (3; 1 + √5)

C. (-1; -√5; -1) ∪ (3; 1 + √5)   

D. (-∞; 1 - √5) ∪ (1 + √5; +∞)

Bài 43:

A. ln³x - 2ln²x + 2lnx + C   

B. -ln³x - 2ln²x + 2lnx + C

C. ln³x + 2ln²x + 2lnx + C    

D. ln³x - 2ln²x - 2lnx + C

Đặt t = lnx, suy ra dt = dx/x

I = ∫(3t² - 4t + 2)dt = t³ - 2t² + 2t + C = ln³x - 2ln^xx + 2lnx + C

Bài 44: Hàm số F(x) = ln|sinx - 3cosx| là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Bài 45: Tính ∫x².sinxdx

A. -x²cosx + 2x.sinx - 2cosx + C    

B. x²sinx + 2x.cosx - 2sinx + C

C. -x²cosx + 2x.sinx + 2cosx + C    

D. 2x.cosx + sinx + C

Bài 46: Cho tích phân

Nếu đổi biến số t = sin²x thì: