Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Cách 1.

Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án D.

Bài 3: Tìm I=∫(3x² - x + 1)e^xdx

A. I = (3x² - 7x +8)e^x + C    

B. I = (3x² - 7x)e^x + C

C. I = (3x² - 7x +8) + e^x + C    

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Bài 4:

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s   

B. 11m/s   

C. 12m/s   

D. 13m/s.

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Vậy chọn đáp án D.

Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    

B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C   

D. I = 4sin(4x + 3) + C

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành

Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Bài 8: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

A.x² + (1/2).cos⁡2x    

B. x² + cos² x    

C. x² - sin²x    

D. x² + cos⁡2x .

Ta có

   ∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Bài 9: Tìm nguyên hàm của

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C.

Bài 10:

Đặt u = e^x + 1 ⇒ u' = e^x. Ta có

Bài 11: Tìm I = ∫x.e^3xdx

Bài 12: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .

Bài 13: Họ nguyên hàm của hàm số

Bài 14: Họ nguyên hàm của hàm số

A. cot2x + C     B. -2cot2x + C    C. 2cot2x + C     D. -cot2x + C .

Bài 15: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của

Bài 16: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)² là:

A. 2tanx - cotx - x + C    

B. 4tanx + cotx - x + C

C. 4tanx - cotx + x + C    

D. 4tanx - cotx - x + C

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫(4tan²x + 2tanx.cotx + cot²x)dx

= ∫ [4(tan²x + 1) + (cot²x + 1) - 1]dx

= 4tanx = cotx - x + C

Bài 17: Biết rằng: f'(x) = ax + b/x², f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0

Giá trị biểu thức ab bằng :

A.0    

B.1   

C.-1    

D. 1/2 .

Ta có:

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Bài 18: Cho các hàm số:

với x > 3/2. Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:

A. a = 4; b = 2; c= 1   

B. a = 4; b = -2; c = -1

C. a = 4; b = -2; c = 1    

D. a = 4; b = 2; c = -1 .

Ta có:

Bài 19: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334    

B. 263334    

C.264254    

D.254334.

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334.

Bài 20: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: 

Bài 21:

Ta biến đổi để thu được:

Bài 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^2x.3^x.7^x .