Câu 1: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 7πa² và bán kính đáy là a. Chiều cao của hình trụ là:

A. 3a/2   

B. 2a    

C. 5a/3   

D. 5a/2

Từ giả thiết ta có:

Đáp án đúng là D.

Câu 2: Hình nón có chiều cao bằng 4/3 bán kính đáy. Tỉ số giữa diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón là:

A. 4/3   

B. 5/7   

C. 8/5   

D. 9/5

Từ giả thiết ta có

Câu 3: Hình nón có góc ở đỉnh là 90^o và có diện tích xung quanh là π√2 . Độ dài đường cao của hình nón là:

A. 1   

B. √2   

C. 1/√2    

D. 2

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.

Câu 4: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=15cm và bán kính đáy r = 20cm. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. 1000π(cm²)   

B. 250π(cm²)    

C. 375π(cm²)   

D. 500π(cm²)

Từ giả thiết ta có :

Câu 5: Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là a. Quay tam giác ABC quanh trục AB thì đoạn gấp khúc ACB tạo thành hình nón (N). Diện tích xung quanh của hình nón (N) là:

Theo cách xây dựng hình nón ta có đường sinh của hình nón là: l = BC = a .

Bán kính đáy của hình nón là: r = AC = BC.sin45^o = a/√2

Vậy ta có diện tích xung quanh của hình nón (N) là:

Đáp án đúng là C.

Câu 6: Hình nón (N) có đường sinh gấp hai lần bán kính đáy. Góc ở đỉnh của hình nón là :

A. 120^o    

B. 60^o   

C. 30^o   

D. 0^o

Từ giả thiết ta có l = 2r .

Gọi 2α là góc ở đỉnh của hình nón, khi đó ta có :

Vậy góc ở đỉnh của hình nón là 60^o .

Đáp án đúng là B.

Câu 7: Hình nón có chiều cao bằng đường kính đáy. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón bằng :

Từ giả thiết ta có:

Đáp án đúng là D.

Câu 8: Một chiếc phễu đựng dầu hình nón có chiều cao là 30cm và đường sinh là 50cm. Giả sử rằng lượng dầu mà chiếc phễu đựng được chính là thể tích của khối nón. Khi đó trong các lượng dầu sau đây, lượng dầu nào lớn nhất chiếc phễu có thể đựng được :

A. 150720π(cm³)   

B. 50400π(cm³)

C. 16000π(cm³)   

D. 12000π(cm³)

Từ giả thiết ta có h = 30cm ; l = 50cm. Khi đó ta có

Thể tích khối nón là :

Đáp án đúng là C.

Câu 9: Cho hình trụ có được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB. Biết rằng AB = 2AD = 2a. Thể tích khối trụ đã cho theo a là :

A. 2πa³   

B.πa³   

C. 2πa³ /3   

D.πa³ /2

Từ giả thiết ta có h = AB = 2a, r = AD = a. Khi đó ta có thể tích khối trụ là: V = πr²h = 2πa³ .

Đáp án đúng là A.

Câu 10: Hình nón (N) có đường sinh gấp hai lần đường cao. Góc ở đỉnh của hình nón là:

A. 120^o    

B. 90^o   

C. 60^o    

D. 30^o

Gọi 2α là góc ở đỉnh của hình nón. Từ giả thiết ta có:

Câu 11: Để làm một thùng phi hình trụ người ta cần hai miếng nhựa hình tròn làm hai đáy có diện tích mỗi hình là 4π(cm²) và một miếng nhựa hình chữ nhật có diện tích là 15π(cm²) để làm thân. Tính chiều cao của thùng phi được làm.

A. 15/4(cm)   

B. 5(cm)   

C. 15/2(cm)   

D. 15(cm)

Diện tích miếng nhựa hình chữ nhật để làm thân bằng diện tích xung quanh của thùng phi.

Từ giả thiết ta có :

Đáp án đúng là A.

Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Lần lượt quay hình chữ nhật quanh các trục AB, AD ta được hai khối trụ lần lượt gọi là (H1), (H2). Tính tỉ số thể tích của khối trụ (H1) chia cho thể tích của khối trụ (H2)

A. 1   

B. 1/4    

C. 1/2    

D. 2

Từ giả thiết ta có:

Khi đó ta có :

Đáp án đúng là C.

Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần 6πa². Diện tích của thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua các trục của hình trụ là :

A. a²   

B. 2a²   

C. 4a²   

D. 6a² 

Từ giả thiết ta có:

Thiết diện đã cho là một hình chữ nhật có các cạnh lần lượt là h và 2r. Khi đó ta có diện tích thiết diện là : S = 2rh = 4a² .

Đáp án đúng là C.

Câu 14: Cho khối trụ có diện tích toàn phần là π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trục là hình vuông. Thể tích khối trụ là :

Từ giả thiết ta có:

Thể tích khối trụ là :

Đáp án đúng là D.

Câu 15:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a√2 . Tính thể tích V của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD?

Câu 16:Cho hình nón S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2√3a Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P)

Câu 17: Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy r, đường sinh l và đường cao h. Công thức tính thể tích khối nón là:

Theo công thức ta có đáp án đúng là C

Câu 18: Cho khối trụ có bán kính đáy 4m và đường cao là 5m. Thể tích khối trụ là:

A. 20π(m³)    

B. 60π(m³)    

C. 80π(m³)   

D.100π(m³)

Từ giả thiết ta có: V = πr²h = π4².5 = 80π(m³)

Câu 19: Hình trụ (H) có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần là 1/3 . Biết rằng thể tích khối trụ là 4π . Bán kính đáy của hình trụ là:

A. 2   

B. 3   

C. √6    

D. √7

Từ giả thiết ta có:

Câu 20: Ta dùng hai hình chữ nhật có cùng kích cỡ để làm thành hai hình trụ (H1) và (H2) bằng cách quay các hình chữ nhật đó, lần lượt theo chiều dài và chiều rộng. Tỉ số hai diện tích xung quanh hình trụ (H1) và hình trụ (H2) là:

A. 2   

B. 1   

C. 1/2    

D. 1/4

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là a và b.

Hình trụ (H₁) có r₁ = a ; h₁ = b

Hình trụ (H₂) có r₂ = b ; h₂= a

Ta có: 

Câu 21: Cho hình nón có đường cao h = 10cm và thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình nón là một tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nón là:

Từ giả thiết ta có thiết diện là tam giác đều cạnh 2r và đường cao h nên ta có :

Câu 22: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm và đường sinh l = 25cm . Thể tích khối nón là:

A. 1500π(cm³)   

B. 2500π(cm³)   

C. 3500π(cm³)   

D. 4500π(cm³)

Từ giả thiết ta có:

Câu 23: Tam giác ABC vuông đỉnh A có AB = 2AC. Quay tam giác ABC quanh trục AB thì đoạn gấp khúc ACB tạo ra hình nón (N1) và quay tam giác ABC quanh trục AC thì đoạn gấp khúc ABC tạo ra hình nón (N2). Tỉ số diện tích xung quanh của hình nón (N1) và diện tích xung quanh của hình nón (N2) là:

A. 1/4   

B. 1/2   

C. 1   

D. 2

Đặt AC = a, ta có AB = 2a => BC = a√5 . Khi đó ta có :

Câu 24: Cho khối nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 60^o và đường sinh l = 6cm. Thể tích của khối nón là:

A. 9π√3(cm³)   

B. 27π√3(cm³)   

C. 27π(cm³)   

D. 3π√3(cm³)

Từ giả thiết ta có:

Câu 25: Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích V₁ ; một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích V₂ .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. V₂ = 3V₁

B. V₁ = 2V₂

C. V₁ = 3V₂

D. V₂ = V₁

Hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h nên thể tích V₁ = πR²h .

Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h nên thể tích V₂ = 1/3 πR²h .

Từ đó suy ra V₁ = 3V₂ .

Câu 26: Khối nón có góc ở đỉnh là 60^o và có thể tích là π. Độ dài đường sinh của khối nón là:

Từ giả thiết ta có :

Câu 27: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ một góc 45°. Tính thể tích của khối trụ.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.

Khi đó OM ⊥ AB và O’N ⊥ CD

Gọi I là giao điểm của MN và OO’

Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó ΔIOM vuông cân tại O nên:

Câu 28: Hình trụ (H) có diện tích toàn phần là 8π(cm²) và thể tích khối trụ là 3π(cm³) . Tính chiều cao của hình trụ ta được bao nhiêu kết quả?

A. 1   

B. 2   

C. 3   

D. 4

Từ giả thiết ta có:

Do r > 0 nên ta có 2 giá trị r thỏa mãn hay có hai hình nón thỏa mãn đề bài

Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD có AC = 2AD = 2a. Quay quanh trục AB đường gấp khúc ADCB ta được hình trụ có diện tích xung quanh là:

A. 6πa²   

B. 3πa²   

C. 2πa²√3    

D. πa²√6

Từ giả thiết ta có : AC = 2AD = 2a suy ra:

Khi đó ta có :

Câu 30:Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π (cm) và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm).

Gọi O, O' là hai tâm của đáy hình trụ và thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD .

Do chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π nên bán kính đáy của hình trụ là

Câu 31: Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6πa² và thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua trục là một hình vuông. Chiều cao của hình trụ là:

A. 3a/4   

B. a    

C. 3a/2    

D. 2a

Vì thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua trục là một hình vuông nên: h = 2r

Câu 32: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 12π , đường cao của hình trụ là 1. Diện tích xung quanh của hình trụ là:

A. 6π   B. 4π   C. 2π   D. π

Từ giả thiết ta có :

Câu 33: Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích xung quanh là πa² . bán kính đáy của hình trụ là:

Từ giả thiết ta có:

Câu 34: Cho khối trụ có diện tích toàn phần 5πa² và bán kính đáy là a. Thể tích khối trụ là:

A. 3πa³/2    

B. πa³/2   

C. πa³   

D. 3πa³

Từ giả thiết ta có:

Câu 35: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là:

Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC cắt hình chóp theo một thiết diện có chu vi bằng 7a. Thể tích khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy ngoại tiếp ABCD là:

Do AB // CD nên mặt phẳng (ABM) cắt mặt phẳng (SCD) theo một giao tuyến đi qua M và song song với CD, giao tuyến đó cắt SD tại N. Suy ra N là trung điểm của SD. Từ giả thiết ta có :

Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác SBC ta có :

Khối nón đã cho có :

Câu 37: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h = √3 và góc  = α = 60° . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S

Đặt r = OA, SO = h, SA = SB = SC = l là đường sinh của hình nón.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB.

Câu 38: Cho hình trụ có đường cao h và bán kính đáy là r. Trong các khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ thì khối lăng trụ có thể tích lớn nhất bằng:

A.hr²   

B. 2hr²   

C. 3hr²    

D. 4hr²

Gọi ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ nội tiếp hình trụ. Khi đó lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng và có chiều cao là chiều cao h của hình trụ. Vậy thể tích khối lăng trụ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi diện tích đáy ABCD đạt giá trị lớn nhất. Do ABCD nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ nên ta có :

Dấu bằng xảy ra khi ABCD là hình vuông. Vậy thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ lớn nhất là V = 2r²h

Câu 39: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích xung quanh của hình nón bằng 9π . Tính đường cao h của hình nón.

Câu 40: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60° . Tính diện tích xung quanh S_xq của hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SC = a√6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a, AB' = 2a . Diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp hình hộp là:

A. πa²(1 + √6)   

B. πa²(1 + √3)   

C. πa²(1 + √2)   

D. 2πa²

Xét tam giác vuông ABB’ ta có:

Hình trụ ngoại tiếp hình hộp đã cho có chiều cao h = AA’= BB’

Đáy hình trụ là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và A’B’C’D’

Ta có :

Câu 43: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và ;. Tính diện tích xung quanh hình nón ?

Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ∠SAB = 60° . Thể tích của hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là:

Câu 45: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D có đáy ABCD là hình thang, AB = AD = a, CD = 2a. Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^o . Biết hình lăng trụ nội tiếp một hình trụ. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ theo a ta được:

Từ giả thiết ta có hình thang ABCD là hình thang nội tiếp được đường tròn nên nó là hình thang cân AB = AD = BC = a

Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD là trung điểm I của CD và bán kính là r = a .

Ta có:

=> A'A = a√3√3 = 3a => V = 3πa³

Câu 46: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ)

Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên SA = SB = a

Do đó:

Câu 47: Cho hình nón S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và  . Tính diện tích xung quanh hình nón.

Câu 48: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD. Khi đó diện tích xung quanh và thể tích của hình nón bằng

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ACBD)

Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)

Câu 49: Một người xây nhà phải xây bốn cái cột hình trụ cùng kích cỡ, bán kính đáy các cột là 25cm. Biết rằng tổng thể tích vật liệu (chính là tổng thể tích bốn khối trụ) là 3m³. Chiều cao của mỗi cột là:

Từ giả thiết đề bài ta có tổng thể tích của bốn khối trụ là 3m³ và bán kính đáy của mỗi khối trụ là r = 25cm = 0,25m.

Gọi h là chiều cao của các khối trụ ta có :

Câu 50: Một hộp đứng bóng bàn hình trụ có chiều cao 30cm, bán kính 2,5cm. Vận động viên để các quả bóng bàn có bán kính 2,5cm vao hộp. Hỏi vận động viên có thể để được nhiều nhất bao nhiêu quả bóng bàn trong các kết quả sau?

A. 3   

B. 6   

C. 12   

D. 15

Do bán kính của một quả bóng bàn hình cầu bằng bán kính hình trụ nên mỗi lần ta chỉ đặt được một quả bóng bàn vào hình trụ. Khi đó do mỗi quả bóng bàn chiếm chiều cao là 2,5x2=5cm nên với hình trụ cao 30cm thì đựng được nhiều nhất là 6 quả bóng bàn

Câu 51: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông. Tính thể tích V của khối nón.

Câu 52: Cho hình trụ có bán kính đáy 10cm và đường cao là 15cm. ta để một thước thẳng có chiều dài l vào trong hình trụ. Khi đó trong các kết quả sau l có thể nhận giá trị lớn nhất là:

A. 30 (cm)   

B. 24 (cm)   

C. 20(cm)   

D. 15(cm)

Để một chiếc thước thẳng có thể nằm trong một hình trụ thì độ dài của nó không thể vượt quá được độ dài đường chéo của hình chữ nhật là thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình trụ. Do đó độ dài thước không vượt quá :