Bài 1: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e^2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Tìm hoành độ giao điểm của hai dồ thị, ta có:

(x - 1)e^2x = 0 => x = 1

Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi

Đặt: u = (x - 1)², dv e^4xdx. Ta có du = 2(x -1)dx và v = e^4x/4 .

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

Đặt u₁ = x - 1, dv₁ = e^4xdx , ta có du₁ = dx, v₁ = e^4x/4 .

Vậy chọn đáp án A.

Bài 2: Vận tốc của một vật chuyển động là

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

A. 0,33m    

B. 0,34m    

C. 0,35m    

D. 0,36m.

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Bài 3: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2√(9-x²)

Bài 4: Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành :

Bài 5: Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = π/2 là:

Thể tích khối tròn xoay là :

Bài 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là:

A. π(ln²2 - 2ln2 + 1)    

B. 2π(ln²2 - 2ln2 + 1)

C. 4π(ln²2 - ln2 + 1)   

D. 2π(ln²2 - ln2 + 1)

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành :

ln x = 0 ⇔ x = 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

Bài 7: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:

A. π²    

B. 2π²    

C. 4π²    

D. 8π²

Phương trình đường tròn tâm I(2 ; 0), bán kính R = 1 là :

Đường tròn cắt trục tung tại hai điểm (0; 1) và( 0; -1).

Vậy ta có:

Bài 8: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Chọn đáp án D

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:

x³ - x = x - x³ <=> x³ + x² - 2x = 0

Vậy diện tích của hình phẳng tính là

Vậy chọn đáp án B.

Bài 10: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

A. 2,65cm    

B. 2,66cm    

C. 2,67cm    

D. 2,68cm.

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .

Bài 11: Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

a) Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này ( tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?

A. 100 triệu    

B. 120 triệu    

C. 150 triệu    

D. 250 triệu.

b) Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

A. 1 năm    

B. 2 năm    

C. 3 năm    

D. 4 năm.

a) Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh

Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.

Chọn đáp án C.

b) Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:

Vậy chọn đáp án B.

Bài 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là:

Ta có: x² - x + 3 = 2x + 1 <=> x² - 3x + 2 = 0 <=> x = 2 hoặc x = 1

Bài 13: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là:

Bài 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = √6 và y = 6 - x và trục tùng là:

Diện tích giới hạn được tính bởi

Bài 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 1/x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x - e^-x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Diện tích hình phẳng được tính bởi

Bài 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x - x và trục hoành.

Xét phương trình

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi