Bài 1: Giải phương trình (x² - 2x)lnx = lnx³

A. x = 1, x = 3    

B. x = -1, x = 3    

C. x = ±1, x = 3    

D. x = 3

Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(x² -2x)lnx = 3lnx ⇔ (x² - 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .

Chọn đáp án A.

Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.

Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x² - 2x)lnx = 3lnx ⇔ x² -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.

Bài 2: Giải phương trình

Bài 3: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Bài 4: Giải phương trình 3^{2x - 3} = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.

A. x ≈ 2,38   

B. x ≈ 2,386    

C. x ≈ 2,384   

D. x ≈ 1,782

Bài 5: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4^{x2 + 2} - 9.2^{x2 + 2} + 8 = 0

A. 2   

B. 4   

C. 17   

D. 65

Bài 6: Giải phương trình 4^x + 2^{x + 1} - 15 = 0. Viết nghiệm tìm được dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm

A. x ≈ 0,43    

B. x ≈ 0,63    

C. x ≈ 1,58    

D. x ≈ 2,32

Bài 7: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   

B. ln3    

C. –ln3    

D. 1/ln3

Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Bài 8: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 3^{2x2 + 2x + 1} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

A. -4    

B. -2    

C. 2    

D. 4

Ta có: 3^{2x2 + 2x + 1} -28.3^{x2 + x} + 9 = 0 ⇔ 3.3^{2(x2 + x)} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

Đặt t = 3^x2 + x > 0 nhận được phương trình

Với t = 1/3 = 3^-1 được 3^{x2 + x} = 3^-1 ⇔ x² + x + 1 = 0(vô nghiệm)

Với t = 9 được phương trình 3^{x2 + x} = 9 = 3² ⇔ x² + x = 2

x² + x - 2 = 0 ⇔ x -2 hoặc x = 1

Tích của hai nghiệm này bằng -2.

Chọn đáp án B

Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình 2^{x - 1} = 3^{1 - 2x}

Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log₂3 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được:

(x - 1) = (1 - 2x)log₂3

⇔ x - 1 = log₂3 - 2xlog₂3

⇔ x + 2xlog₂3 = log₂3 + 1

⇔ x(2log₂3 + 1) = log₂3 + 1

Chọn đáp án D

Bài 10: Giải phương trình 10^x = 0,00001

A. x = -log4    

B. x = -log5    

C. x = -4    

D. x = -5

10^x = 0,00001 ⇔ 10^x = 10^-5 ⇔ x = -5

Bài 11: Nếu log₇(log₃(log₂x)) = 0 thì x^-1/2 bằng :

log₇(log₃(log₂x)) = 0 ⇔ log₃(log₂x) = 7⁰ = 1

⇔ log₂x = 3^t ⇔ x = 2³ = 8

Chọn đáp án C

Bài 12: Giải phương trình logx = log(x + 3) - log(x - 1)

A. x = 1   

B. x = 3   

C. x = 4    

D. x = -1, x = 3

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chọn đáp án B.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Bài 13: Giải phương trình log_√2(x + 1) = log₂(x² + 2) - 1

A. x = 1   

B. x = 0   

C. x = 0, x = -4   

D. x = 0, x = 1

Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với

2log₂(x + 1) = log₂(x² + 2)

Chọn đáp án B

Bài 14: Cho biết log_b²x + log_x²b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng:

A. b    

B. √b   

C. 1/b    

D. 1/b²

Điều kiện: x > 0

Chọn đáp án A.

Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.

Bài 15: Cho biết 2^x = 8^{y + 1} và 9^y = 3^{x - 9} . Tính giá trị của x + y

A. 21    

B. 18   

C. 24    

D. 27

Vậy x + y =27.

Chọn đáp án D.

Bài 16: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3^{x2 - 2xy} = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y

A. 9/4    

B. 3/2    

C. 3   

D. 9

Điều kiện x > 0, y > -3.

Ta có: 3^{x2 - 2xy} = 1 = 3⁰ ⇔ x² - 2xy = 0

⇔ x(x - 2y) = 0 ⇔ x - 2y = 0 (x > 0) ⇔ x = 2y (1)

2log₃x = log₃( y + 3) ⇔ log₃x² = log₃(y + 3) ⇔ x² = y + 3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được

Bài 17: Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức

trong đó Q₀ là điện tích tối đa mà tụ có thể tích được, thời gian t tính bằng giây. Hỏi sau bao lâu thì tụ tích được 90% điện tích tối đa ?

A. 3,2 giây   

B. 4,6 giây    

C. 4,8 giây    

D. 9,2 giây

Để tụ tích được 90% điện tích tối đa thì Q(t) = 90%Q₀

Ta có: Q₀(1 - e^-1/2) = 0,9Q₀ ⇔ e^-1/2 = 0,1 ⇔ t = -2ln0,1 ≈ 4,6 (giây)

Bài 18: Tính tích các nghiệm của phương trình log_x4 + log₄x = 17/4

A. 1    

B. 16    

C. 4∜4   

D. 256√2

Điều kiện : x > 0 ; x ≠ 1

Đặt t = log₄x, nhận được phương trình:

Tích hai nghiệm : 256.√2

Bài 19: Tìm hai số x và y đồng thời thỏa mãn 3^{x + y} = 81 và 81^{x - y} = 3

Bài 20: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy, số cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (tính bằng giờ) bằng công thức

Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt đến 50000 cá thể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ?

A. 36,8 giờ   

B. 30,2 giờ    

C. 26,9 giờ    

D. 18,6 giờ

Sau t giờ thì số cá thể vi khuẩn có được là :

Bài 21: Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. α = -4    

B. log₂α = -2    

C. α = 3/2    

D. α3/14

Trước hết, ta giải phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3) (1)

Điều kiện x > 3/14. Khi đó (1) <=7gt; log₂8 + log₂x² = log₂(14x - 3)

⇔ 8x² = 14x - 3 ⇔ = 8x² - 14x + 3 = 0

Bài 22: Chiều dài (tính bằng xentimet) của một loài cá bơn ở Thái Bình Dương theo tuổi của nó (kí hiệu là t, tính bằng năm) được ước lượng bởi công thức f(t) = 200(1 - 0,956e^-0,18t). Một con cá bơn thuộc loài này có chiều dài 140cm. Hãy ước lượng tuổi của nó.

A. 2,79 năm   

B. 6,44 năm    

C. 7,24 năm    

D. 12,54 năm

Con cá bơn có chiều dài là 140cm nên:

Bài 23: Có một dịch cúm trong một khu vực quân đội và số người lính ở đó mắc bệnh cúm sau t ngày (kể từ ngày dịch cúm bùng phát) được ước lượng bằng công thức

trong đó k là một hằng số. Biết rằng có 40 người lính mắc bệnh cúm sau 7 ngày. Tìm giá trị của hằng số k.

A. 0,33   

B. 2,31    

C. 1,31    

D. -2,31

Ta có:

Bài 24: Nếu log(log(log(logx))) = 0 thì x = 10^k . Tìm giá trị của k

A. 10    

B. 100    

C. 10³    

D. 10¹⁰

log(log(log(logx))) = 0 ⇔ log(log(logx)) = 1 ⇔ log(logx) = 10

⇔ logx = 10¹⁰ ⇔ x = 10¹⁰¹⁰ (thỏa mãn điều kiện)

⇒ k = 10¹⁰

Bài 25: Giải phương trình log₃x = (-2 + log₂100)(log₃√2)

A. x = 5    

B. x = 3√2   

C. x = 2⁴    

D. x = 50

Điều kiện : x > 0

Bài 26: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình

Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được

Kết hợp điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là x= 100 và x= 10

Bài 27: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 7^x + 2.7^{1 - x} - 9 = 0.

A. log₂7 + 1   

B. log₇2 + 1    

C. log₇2    

D. log₂7

Bài 28: Tìm nghiệm của phương trình 4^{1 - x} = 3^{2x + 1}

4^{1 - x} = 3^{2x + 1} ⇔ 2^{2 - 2x} = 3^{2x + 1}

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế ta được :

Bài 29: Giải phương trình log₅(x + 4) = 3

A. x = 11    

B. x = 121    

C. x = 239    

D. x = 129

Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > -4

PT ⇔ x + 4 = 5³ = 125 ⇔ x = 121 ( thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm cuả phương trình đã cho là 121.

Bài 30: Tìm các số thực a thỏa mãn log₁₀(a² - 15a) = 2

log₁₀(a² - 15a) = 2 ⇔ a² - 15a = 10² = 100 ⇔ a² - 15a - 100 = 0

Bài 31: Giải phương trình x²lnx = lnx⁹

A. x = 3   

B. x = ±3    

C. x = 1, x = 3    

D. x = 1, x = ±3

Điều kiện x > 0.

Bài 32: Giải phương trình log₄(log₃(log₂x)) = 0

A. x = 2    

B. x = 8    

C. x = ∛2    

D. x = 4³²

log₄(log₃(log₂x)) = 0 ⇔ log₃(log₂x) = 1 ⇔ log₂x = 3 ⇔ x = 2³ = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Bài 33: Giải phương trình lnx + ln(x - 1) = ln2

A. x = 3/2    

B. x = -1, x = 2    

C. x = 2    

D. x = 1, x = 3/2

Điều kiện x > 1

Ta có: lnx + ln(x - 1) = ln2

⇔ x(x - 1) = 2 ⇔ x² - x - 2 = 0

⇔ x = -1 (loại) hoặc x = 2