Bài 17: Phép chia hết - Ước và bội của một số nguyên
Bài 17: Phép chia hết - Ước và bội của một số nguyên
Bài 17: Phép chia hết - Ước và bội của một số nguyên
Phần 1: Giải Sách Giáo Khoa
Trả lời câu hỏi giữa bài
Luyện tập 1 trang 73 Toán lớp 6 Tập 1:
1. Thực hiện phép chia 135 : 9. Từ đó suy ra thương của các phép chia 135 : (- 9) và
(-135) : (-9)
2. Tính:
a) (-63) : 9;
b) (-24) : (-8).
Lời giải:
1. 135 : 9 = 15
Từ đó ta có: 135 : (-9) = -15; (-135) : (-9) = 15
2. a) (-63) : 9 = - (63 : 9) = -7;
b) (-24) : (-8) = 24 : 8 = 3.
Luyện tập 2 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
a) Tìm các ước của – 9;
b) Tìm các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20.
Lời giải:
a) Ta có các ước nguyên dương của 9 là: 1; 3; 9
Do đó tất cả các ước của -9 là: -9; -3; -1; 1; 3; 9
b) Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6… ta được các bội dương của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…
Do đó các bội của 4 là …; -24; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…
Vậy các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20 là -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16.
Tranh luận trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
Không biết Tròn tìm được hai số nguyên nào nhỉ?
Lời giải:
Bạn Tròn tìm được hai số nguyên khác nhau mà và là hai số đối nhau.
Ví dụ 1: Hai số là 3 và - 3
Ví dụ 2: Hai số 12 và - 12
Vậy tổng quát với mọi số nguyên a khác 0. Số đối của a là - a và ta có:
Suy ra a chia hết cho – a và ngược lại (-a) chia hết cho a.
Bài tập
Bài 3.39 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
Tính các thương:
a) 297 : (-3);
b) (-396) : (-12);
c) (-600) : 15.
Lời giải:
a) 297 : (-3) = - (297 : 3) = - 99
b) (-396) : (-12) = 396 : 12 = 33
c) (-600) : 15 = - (600 : 15) = - 40.
Bài 3.40 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
a) Tìm các ước của mỗi số: 30; 42; - 50.
b) Tìm các ước chung của 30 và 42.
Lời giải:
a) * Tìm các ước của 30:
Ta có: 30 = 2.3.5
Các ước nguyên dương của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
Do đó tất cả các ước của 30 là: -30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
* Tìm các ước của 42:
Ta có: 42 = 2. 3. 7
Các ước nguyên dương của 42 là: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42
Do đó tất cả các ước của 42 là: -42; -21; -14; -7; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42
* Tìm các ước của – 50:
Ta có 50 = 2.52
Các ước nguyên dương của 50 là: 1; 2; 5; 10; 25; 50
Do đó tất cả các ước của - 50 là: -50; -25; -10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10; 25; 50
b) Các ước chung nguyên dương của 30 và 42 là: 1; 2; 3; 6
Do đó các ước chung của 30 và 42 là: -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6.
Bài 3.41 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê phần tử:
M = {x ∈ Z | x ⁝ 4 và -16 ≤ x < 20 }
Lời giải:
Vì x là số nguyên chia hết cho 4 nên x là bội của 4.
Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6… ta được các bội dương của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…
Do đó các bội của 4 là: …; -24; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24
Mà các bội của 4 lớn hơn hoặc bằng - 16 và nhỏ hơn 20 là -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16
Vậy M = {-16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16}.
Bài 3.42 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1: Tìm hai ước của 15 có tổng bằng – 4.
Lời giải:
Ta có: 15 = 3. 5
Các ước nguyên dương của 15 là: 1; 3; 5; 15
Do đó tất cả các ước của 15 là: -15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15
Nhận thấy: (- 5) + 1 = - (5 – 1) = - 4; (-1) + (- 3) = - (1 + 3) = - 4
Vậy hai ước có tổng bằng 4 là – 5 và 1 hoặc – 1 và – 3.
Bài 3.43 trang 74 Toán lớp 6 Tập 1:
Giải thích tại sao: Nếu hai số cùng chia hết cho – 3 thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho – 3. Hãy thử phát biểu một kết luận tổng quát.
Lời giải:
Giả sử a và b là hai số nguyên cùng chia hết cho -3. Khi đó có hai số nguyên p và q sao cho a = (- 3).p và b = (- 3). q.
+) Ta có: a + b = (-3). p + (- 3). q = (-3). (p + q)
Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p + q) ⁝ (- 3) hay (a + b) ⁝ (- 3)
+) Ta có: a - b = (-3). p - (- 3). q = (-3). (p - q)
Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p - q) ⁝ (- 3) hay (a - b) ⁝ (- 3)
Vậy nếu hai số cùng chia hết cho – 3 thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho – 3.
Tổng quát: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho một số nguyên c (c 0) thì tổng (hay hiệu) của chúng cũng chia hết cho c.
Ta có thể chứng minh kết luận trên như sau:
Giả sử a ⁝ c và b ⁝ c có nghĩa là a = cp và b = cq (với p, q ).
Suy ra a + b = cp + cq = c. (p + q).
Vì c ⁝ c nên [c. (p + q)] ⁝ c
Vậy (a + b) ⁝ c.
Phần 2: Lý thuyết bài học
Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên hay nhất, chi tiết sách Kết nối tri thức với cuộc sống sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 6.
A. Lý thuyết
1. Phép chia hết
Cho a,b ∈ Z với b ≠ 0 . Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta có phép chia hết a:b = q (trong đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia và q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a 
b.
Ví dụ 1. Các phát biểu sau đúng hay sai? Vì sao?
a) 27 chia hết cho 9;
b) 28 không chia hết cho 14;
c) 135 chia hết cho 15.
Lời giải
a) Vì 27 = 9.3 nên 27 chia hết cho 3. Do đó a đúng.
b) Vì 28 = 14.2 nên 28 chia hết cho 14. Do đó b sai.
c) Vì 135 = 15.9 nên 135 chia hết cho 15. Do đó c đúng.
2. Ước và bội
Khi a 
b (a,b ∈ Z, b ≠ 0), ta còn gọi a là một bội của b và b là một ước của a.
Ví dụ 2.
a) 5 là một ước của -15 vì (-15) 
5.
b) (-15) là một bội của 5 vì (-15) 
5.
Nhận xét:
Nếu a là một bội của b thì –a cũng là một bội của b.
Nếu b là một ước của a thì – b cũng là một ước của a.
Ví dụ 3.
a) Tìm tất cả các ước của 6 và 9.
b) Tìm các bội của 8.
Lời giải
a) Ta có các ước dương của 6 là: 1; 2; 3; 6.
Do đó tất cả các ước của 6 là: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
Ta có các ước dương của 9 là: 1; 3; 9.
Do đó tất cả các ước của 9 là: 1; -1; 3; -3; 9; -9.
b) Lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3; 4; …, ta được các bội dương của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …Do đó bội của 8 là: 0; 8; -8; 16; -16; 24; -24; 32; -32; …
B. Bài tập
Bài 1. Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
M = {x ∈ Z | 12 x, -6 ≤ x < 2}
Lời giải
Vì 12 x nên x thuộc Ư(12)
Ư(12) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12}.
Mà -6 ≤ x < 2 nên x ∈ {-6; -4; -2; -1; 1}
Bằng cách liệt kê các phần tử, ta viết M = {-6; -4; -2; -1; 1}.
Bài 2.
a) Tìm các ước của mỗi số sau: 21; 35;
b) Tìm các ước chung của 30 và 42.
Lời giải
a) Ư(21) = {1; -1; 3; -3; 7; -7; 21; -21};
Ư(35) = {1; -1; 5; -5; 7; -7; 35; -35}.
b) Ư(30) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 5; -5; 6; -6; 10; -10; 15; -15; 30; -30};
Ư(42) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6; 7; -7; 14; -14; 21; -21; 42; -42};
ƯC(30, 42) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}.
Phần 3: Bài tập trắc nghiệm
Với 21 bài tập trắc nghiệm Toán lớp 6 Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức với cuộc sống sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 6.
I. Nhận biết
Câu 1. Tìm thương của phép chia sau: 64: (-8);
A. 8
B. – 8
C. 6
D. -6
Lời giải Ta có 64:(-8) = -8.
Đáp án: B
Câu 2. -10 là gì của 2?
A. -10 là bội của 2
B. -10 là ước của 2
C. Cả A và B đều đúng
D. Cả A và B đều sai
Lời giải Vì (-10): 2 = -5 nên -10 chia hết cho 2, do đó -10 là một bội của 2.
Đáp án: A
Câu 3. Tìm tập các ước nguyên của 5
A. Ư(5) = {1; 5}
B. Ư(5) = {-1; -5}
C. Ư(5) = {0; 5; 10; …}
D. Ư(5) = {1; -1; 5; -5}
Lời giải
Các ước nguyên dương của 5 là 1; 5.
Do đó các ước nguyên âm của 5 là -1; -5
Vậy Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}.
Đáp án: D
II. Thông hiểu
Câu 1. Một tàu lặn thám hiểm đại dương lặn xuống thêm được 12 m trong 3 phút. Hỏi trung bình mỗi phút tàu lặn xuống thêm được bao nhiêu mét?
A. 4m
B. 3m
C. 6m
D. 12m
Lời giải
Trong 3 phút, tàu lặn xuống 12 m hay tàu lặn được: - 12 m
Một phút tàu lặn được: (-12) : 3 = - 4 m.
Vậy mỗi phút tàu lặn xuống thêm được 4 m.
Đáp án: A
Câu 2.
Một máy cấp đông (làm lạnh nhanh) trong 6 phút đã làm thay đổi nhiệt độ được 120C. Hỏi trung bình trong một phút máy đã làm thay đổi được bao nhiêu độ C?
A. -120C
B. 60C
C. 20C
D. -20C
Lời giải
Trong một phút máy đã làm thay đổi được: -12 : 6 = -20C.
Vậy trung bình một phút máy đã làm thay đổi nhiệt độ được -20C.
Đáp án: D
Câu 3. Thực hiện phép tính: (-132).(-98):11
A. 1 176
B. 176
C. 16 116
D. 1 616
Lời giải
(-132).(-98):11
= 12 936:11
= 1 176.
Đáp án: A
Câu 4. Kết quả của phép tính: [(-9).(-9).(-9) + 93]:810.
A. là một số nguyên âm
B. là một số nguyên dương
C. 1
D. 0
Lời giải
[(-9).(-9).(-9) + 93]:810
= [-93 + 93]:810
= 0: 810
= 0.
Đáp án: D
Câu 5. Tìm số nguyên x, biết: (- 24).x = - 120;
A. x = 5
B. x = -5
C. x = 2
D. x = -2
Lời giải
(- 24).x = - 120
x = (- 120):(- 24)
x = 5
Vậy x = 5.
Đáp án: A
Câu 6. Tìm ba bội của 5.
A. 3 bội của 5 là: 0; 10; 42
B. 3 bội của 5 là: -15; 25; 65
C. 3 bội của 5 là: 26; 5; 45
D. 3 bội của 5 là: -20; -115; 98
Lời giải
Ta nhân 5 với các số tự niên …; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …
Suy ra B(5) = {…; -10; -5; 0; 5; 25;…}.
Đáp án: B
Câu 7. Nhiệt độ đầu tuần tại một trạm nghiên cứu ở Nam Cực là -250C. Sau 7 ngày nhiệt độ tại đây là -390C. Hỏi trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi bao nhiêu độ C?
A. -140C
B. 20C
C. -20C
D. 120C
Lời giải
Sau 7 ngày nhiệt độ thay đổi: (– 39) – (–25) = – 39 + 25 = -140C
Do đó sau 7 ngày nhiệt độ giảm 140C.
Trung bình mỗi ngày nhiệt độ giảm: 14 : 7 = 20C
Hay nhiệt độ trung bình mỗi ngày thay đổi -20C
Vậy trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi -20C.
Đáp án: C
Câu 8. So sánh hai biểu thức sau: X = (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) và Y = – 134.
A. X < Y
B. X > Y
C. X = Y
D. X < Y < 0
Lời giải
Ta có: (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > 0 mà – 134 < 0 nên (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > -134.
Vậy (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > -134 hay X > Y.
Đáp án: B
Câu 9. Tìm các số nguyên x, biết: 100 : (x – 7) = 1
A. x = 7
B. x = 93
C. x = 107
D. x = -7
Lời giải
100 : (x – 7) = 1
x – 7 = 100:1
x – 7 = 100
x = 100 + 7
x = 107.
Vậy x = 107.
Đáp án: C
Câu 10. Tìm các số nguyên x, biết: (5x – 10) : (77x2 + 1) = 0.
A. x = 2
B. x = 0
C. x = 2 và x = 0
D. x = -2
Lời giải
(5x – 10) : (77x2 + 1) = 0
TH1: 5x – 10 = 0
5x = 10
x = 10:5
x = 2.
TH2: 77x2 + 1 = 0
77x2 = -1 (vô lí).
Vậy x = 2.
Đáp án: A
III. Vận dụng
Câu 1. Chỉ số đồng hồ đo nước sinh hoạt cuối các tháng 9, 10, 11, 12 của năm 2020 ở nhà bác Long được thống kê trong bảng sau:
|
Thời điểm |
Cuối tháng 9 |
Cuối tháng 10 |
Cuối tháng 11 |
Cuối tháng 12 |
|
Chỉ số đồng hồ đo nước (m3) |
22 |
26 |
31 |
37 |
Biết số tiền nước phải trả cho mỗi m3 là không đổi và tổng số tiền mà bác Long phải trả trong quý IV là 90 000 đồng. Tính số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 10 và thàng 11 năm 2020.
A. 24 000 đồng
B. 30 000 đồng
C. 24 000 đồng và 30 000 đồng
D. 30 000 đồng và 24 000 đồng
Lời giải
Một năm có 12 tháng được chia làm 4 quý, trong đó:
Quý I gồm tháng 1, tháng 2, tháng 3;
Quý II gồm tháng 4, tháng 5, tháng 6;
Quý III gồm tháng 7, tháng 8, tháng 9;
Quý IV gồm tháng 10, tháng 11, tháng 12.
Số m3 nước của nhà bác Long đã sử dụng trong ba tháng cuối năm (hay trong quý IV) là:
37 – 22 = 15 (số).
Mỗi m3 nước có giá tiền là: 90 000:15 = 6 000 (m3).
Số m3 nước bác Long đã sử dụng trong tháng 10 là: 26 – 22 = 4 (m3).
Số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 10 năm 2020 là:
4.6 000 = 24 000 (đồng).
Số m3 nước bác Long đã sử dụng trong tháng 11 là: 31 – 26 = 5 (m3).
Số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 11 năm 2020 là:
5.6 000 = 30 000 (đồng).
Vậy số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 10 và tháng 11 năm 2020 lần lượt là 24 000 đồng và 30 000 đồng.
Đáp án: C
Câu 2. Tìm hai số nguyên khác nhau a và b thỏa mãn a ⋮ b và b ⋮ a.
A. a và b là hai số nguyên dương bằng nhau
B. a và b là hai số nguyên âm bằng nhau
C. a và b là hai số nguyên đối nhau
D. a và b bằng 0
Lời giải
Vì a ⋮ b và b ⋮ a.
Vì a chia hết cho b nên a là bội của b mà b cũng chia hết cho a nên b là bội của a.
Suy ra a = b hoặc a = -b (a, b ≠ 0)
Mà a và b là hai số nguyên khác nhau nên a = - b hay a và b là số đối của nhau.
Đáp án: C
Câu 3. Sau một quý kinh doanh, bác Ba lãi được 60 triệu đồng, còn chú Tư lại lỗ 12 triệu đồng. Em hãy tính xem bình quân trong một tháng mỗi người lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?
A. Bác Ba lãi 20 triệu đồng, bác Tư lỗ 4 triệu đồng
B. Bác Ba lãi 60 triệu đồng, bác Tư lỗ 12 triệu đồng
C. Bác Ba lãi 30 triệu đồng, bác Tư lỗ 6 triệu đồng
D. Bác Ba lãi 10 triệu đồng, bác Tư lỗ 2 triệu đồng
Lời giải
Ta có: Một quý sẽ gồm có 3 tháng.
Trong một tháng số tiền lãi của bác Ba: 60:3 = 20 (triệu đồng)
Trong một tháng số tiền lỗ của bác Tư: 12:3 = 4 (triệu đồng)
Vậy bình quân trong một tháng số tiền lãi/lỗ của mỗi người là:
Bác Ba lãi: 20 triệu đồng (Có 20 triệu đồng).
Bác Tư lỗ: 4 triệu đồng (Có - 4 triệu đồng).
Đáp án: A
Câu 4. Một công ty cơ khí sản xuất đồ dùng dân dụng đã đề xuất chế độ thưởng phạt như bảng sau:
|
Loại sản phẩm |
Mức thưởng/phạt cho 1 sản phẩm |
|
A |
Thưởng 100 000 đồng |
|
B |
Thưởng 50 000 đồng |
|
C |
Phạt 30 000 đồng |
|
D |
Phạt 70 000 đồng |
Bác Toàn làm được 40 sản phẩm loại A, 35 sản phẩm loại B, 15 sản phẩm loại C và 10 sản phẩm loại D. Vậy bác Toàn được thưởng hay phạt trung bình bao nhiêu tiền trên mỗi sản phẩm.
A. 4 600 000 đồng
B. 4 600 đồng
C. 46 000 đồng
D. 460 000 đồng
Số tiền bác Toàn được nhận là: 40.100 000 + 35.50 000 – 15.30 000 – 10.70 000
= 4 000 000 + 1 750 000 – 450 000 – 700 000 = 4 600 000 (đồng).
Tổng số sản phẩm bác Toàn làm được là: 40 + 35 + 15 + 10 = 100 (sản phẩm).
Do đó bác Toàn được thưởng trung bình mỗi sản phẩm là:
4 600 000:100 = 46 000 (đồng).
Vậy bác Toàn được thưởng trung bình 46 000 đồng trên mỗi sản phẩm.
Đáp án: C
Câu 5. Bạn Nam có một bộ sưu tập gồm 169 quyển truyện khác nhau và muốn tặng bạn bè, biết không có hai bạn nào nhận được số quyển truyện bằng nhau. Bạn Nam có thể tặng được nhiều nhất cho bao nhiêu bạn?
A. 19 bạn
B. 18 bạn
C. 17 bạn
D. 16 bạn
Lời giải
Giả sử Nam tặng 169 quyển truyện được nhiều nhất cho n bạn. Không có hai bạn nào nhận được số quyển truyện bằng nhau, nên để chia được cho nhiều bạn nhất thì phải chia cho từng bạn số quyển truyện tương ứng là: 1; 2; 3; 4; 5; …; n – 1; n.
Tổng số quyển truyện của n bạn trên là:
Nếu n ≥ 18 thì 
. Mà bạn Nam chỉ có 169 quyển truyện nên bạn Nam có thể tặng nhiều nhất cho 17 bạn.
Vậy bạn Nam có thể chia 169 quyển truyện cho nhiều nhất 17 bạn.
Đáp án: C
Câu 7. Tìm các số nguyên dương x, sao cho: x chia hết cho 18
A. x ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18}
B. x ∈ {0; 18; 36; 54; …}
C. x ∈ {18; 36; 54; …}
D. x ∈ {…; -36; -18; 0; 18; 36; 54; …}
Lời giải
b) Vì x chia hết cho 18 nên x thuộc tập B(18) = {…; -36; -18; 0; 18; 36; 54; …}.
Mà x là số nguyên dương nên x ∈ {18; 36; 54; …}
Vậy x ∈ {18; 36; 54; …}.
Đáp án: C
Câu 8. Tìm các số nguyên x, sao cho: 2x – 3 là bội của x + 1
A. x = 0
B. x ∈ {0; -2; 4; -6}
C. x ∈ {0; -2; 4}
D. x ∈ {4; -6}
Lời giải
Ta có 2x – 3 = 2x + 2 – 5 = 2(x + 1) – 5
Vì 2x – 3 là bội của x + 1 nên 2x – 3 chia hết cho x + 1.
Mà 2(x + 1) chia hết cho x + 1 nên 5 phải chia hết cho x + 1 hay x + 1 thuộc Ư(5) = {1; -1; 5; -5}.
Suy ra x ∈ {0; -2; 4; -6}.
Vậy x ∈ {0; -2; 4; -6}.
Đáp án: B
