Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bộ 15 bài tập trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án đầy đủ gồm các câu hỏi trắc nghiệm đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dung cao sách Kết nối tri thức giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm Toán 10 Bài 11.

383

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức

Câu 1. Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 11,4;

B. 6,7;

C. 5,7;

D. 9.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

Ta lại có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 9.9 + (- 3) .6 = 3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 63 = 9 \sqrt{130} . c o s \hat{B A C}$ >

$\Leftrightarrow c o s \hat{B A C} = \frac{7}{\sqrt{130}} \Leftrightarrow \hat{B A C} \approx 52, 13 ° .$

$\frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = 2 R \Leftrightarrow \frac{9}{\sin 52, 13 °} = 2 R \Leftrightarrow R \approx 5, 7$ .

Câu 2. Góc giữa vectơ $\vec{a} (- 1; - 1)$ và vecto $\vec{b} (- 1; 0)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 1) . (- 1) + (- 1) .0 = 1, |\vec{a}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}, |\vec{b}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}} = 1.$

$\Rightarrow c o s (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a} . \vec{b}) = 45 ° .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là 45°.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{0} .$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2} .$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a $\sqrt{2}$ .

Ta có $\vec{A B} (a; 0)$ , $\vec{B D} (- a; a)$ , $\vec{A C} (a; a)$ , $\vec{B C} (0; a)$ , $\vec{B A} (- a; 0)$ .

Khi đó:

+) $\vec{A B} . \vec{B D} = a . (- a) + 0. a = - a^{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{B D}}{|\vec{A B}| . |\vec{B D}|} = \frac{- a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B D}) = 135^{0} .$ Do đó A sai.

+) $\vec{A C} . \vec{B C}$ > = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = \frac{\vec{A C} . \vec{B C}}{|\vec{A C}| . |\vec{B C}|} = \frac{a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0} .$ Do đó B đúng

+) $\vec{A C} . \vec{B D} = a . (- a) + a . a = 0$ . Do đó C sai.

+) $\vec{B A} . \vec{B D}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Câu 4. Khi nào thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc?

A. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1;

B. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = - 1;

C. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0;

D. a.b = -1.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hai vec tơ

\vec{a}

và

\vec{b}

vuông góc khi

\vec{a}

\vec{b}

= 0.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3), B(0; 4) và C(2x – 1; 3x²). Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\vec{A B} . \vec{A C} = 2$

A. $\frac{- 2}{3}$ ;

B. $\frac{- 8}{3}$ ;

C. $\frac{- 5}{3}$ ;

D. 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (2 x; 3 x^{2} - 3)$ .

Khi đó: $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{5}{3} \end{array}$

Tổng hai nghiệm là 1 + $(- \frac{5}{3})$ = $\frac{3}{3} + (- \frac{5}{3}) = - \frac{2}{3} .$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3} .$

Câu 6. Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương.

A. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một góc tù;

B. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc bẹt;

C. Khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 0⁰;

D. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Câu 7. Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

A. $\vec{u} . \vec{v}$ = 0;

B. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0° hoặc 180°;

C. $\vec{u} . \vec{v}$ = 1;

D. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 90°.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})$

$\Leftrightarrow {(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {[|\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} . c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v})$

Để ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2}$ thì $c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c os (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ c os (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0} \end{array}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} .$

Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

A. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ;

B. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4}$ ;

C. $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ;

D. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B} . \vec{A C}) = A B . A C . \cos B A C = b c . c osBAC$

Theo định lí cos, ta có:

$cosBAC= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 9. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} (1; - 3), \vec{v} (\sqrt{7}; - 2)$ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của k.

A. k chia hết cho 2;

B. k là một số hữu tỉ;

C. k là một số nguyên dương;

D. k là một số vô tỉ.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Tích vô hướng của hai vecto $k = \vec{u} . \vec{v} = 1. \sqrt{7} + (- 3) . (- 2) = \sqrt{7} + 6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong trường hợp $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4)$ .

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Câu 11. Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + IA²;

B. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + 2 IA²;

C. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² – IA²;

D. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ 2MI² + IA².

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ hay $\vec{I B} = - \vec{I A}$ .

Xét $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) . (\vec{M I} + \vec{I B})$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . \vec{I B} + \vec{M I} . \vec{I A} + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . (\vec{I B} + \vec{I A}) + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + (- \vec{I A}) . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} - {\vec{I A}}^{2}$

$= M I^{2} - I A^{2}$ .

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{a} (1; - 1)$ và $\vec{b} (- 1; 1)$ .

B. $\vec{n} (1; 1)$ và $\vec{k} (2; 0)$ .

C. $\vec{u} (2; 3)$ và $\vec{v} (4; 6)$ .

D. $z (a; b)$ và $\vec{t} (- b; a)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \neq 0.$ Suy ra hai vecto > $\vec{u}, \vec{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Câu 13. Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}| .$

A. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng;

B. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ cùng hướng;

C. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ vuông góc;

D. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ trùng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2). Tìm điểm M thuộc tia Oy để góc $\hat{A M B} = 90^{0} .$

A. $M (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

B. $M (\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

C. $M (0; \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})$ ;

D. $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: $\vec{A M} (- 1; m + 3), \vec{B M} (- 5; m - 2)$ .

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (- 1) . (- 5) + (m + 3) . (m - 2) = m^{2} + m - 1.$

Để $\hat{A M B} = 90^{0}$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Ta thấy $m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) và $m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ (không thỏa mãn)

Vậy $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu 15. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Với điểm M bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²;

B. MA² + MB² + MC² = 3MG²;

C. MA² + MB² + MC² = 3MG² + (GA + GB + GC)²;

D. MA² + MB² + MC² = 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = \vec{M G} . \vec{0} = 0$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} .$

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán 10 sách Kết nối tri thức có đáp án, chọn lọc khác:

Bài viết liên quan

383

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

Bài viết có lượt xem cao

Đồng phân của C5H10 và gọi tên | Công thức cấu tạo của C5H10 và gọi tên (47453 lượt xem)

Công nghệ 12 Bài 9: Thiết kế mạch điện tử đơn giản (41247 lượt xem)

Đồng phân của C4H10 và gọi tên | Công thức cấu tạo của C4H10 và gọi tên (36898 lượt xem)

Đề thi giữa học kì 1 Tiếng Anh lớp 10 mới năm 2021 - 2022 có đáp án (5 đề) (33660 lượt xem)

Bộ 30 đề thi Học kì 1 Ngữ văn lớp 11 có đáp án (28368 lượt xem)

Đồng phân của C5H8 và gọi tên | Công thức cấu tạo của C5H8 và gọi tên (23755 lượt xem)

Công nghệ 11 Bài 1: Tiêu chuẩn trình bày bản vẽ kĩ thuật hay, chi tiết (21271 lượt xem)

Công thức cấu tạo của C4H8O2 và gọi tên | Đồng phân của C4H8O2 và gọi tên (21057 lượt xem)

Trắc nghiệm Tin học 11 Bài 4 có đáp án năm 2021 - 2022 (19761 lượt xem)