+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ ta có: $\frac{-\frac{2}{5}}{4}=\frac{\frac{1}{5}}{-2}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{2}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ta có: $\frac{2}{-1}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{3}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{-1}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{3}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương. Do đó $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Mặt khác AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

Ta có $\overrightarrow{MN}\left(-1;-4\right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow{MF}\left(x-3;y+1\right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ hay $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{-4}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí Py – ta – go)

⇔ BC² = 2² + 7² = 4 + 49 = 53

⇔ BC = $\sqrt{53}$ cm

Ta lại có M là trung điểm BC

⇒ AM = $\frac{1}{2}$ BC (tính chất đường trung tuyến)

⇒ AM = $\frac{\sqrt{53}}{2}$ cm.

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\frac{\sqrt{53}}{2}cm$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\frac{\sqrt{53}}{2}cm.$

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, cũng là trung điểm của BD.

⇒ AO = OC = $\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4cm.$

⇒ BO = OD = $\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm.$

Xét tam giác AOB vuông tại O, có:

AB² = AO² + BO² (định lí Py – ta – go)

⇔ AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ AB = 5 (cm)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=5cm.$

Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}$ là 5cm.

Ta có $\overrightarrow{MN}$ = (-1; 4)

Gọi tọa độ của điểm A là A(x_A; y_A). Khi đó $\overrightarrow{PA}\left(x_A-2;y_A+3\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ (tính chất đường trung bình)

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_A-2=-1\\ y_A+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=1\end{array}\right.$

⇒ A(1; 1).

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt là B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C).

Vì P là trung điểm của AB nên ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2.2-1\\ y_B=2.\left(-3\right)-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=3\\ y_B=-7\end{array}\right.$

⇒ B(3; -7).

Vì N là trung điểm của AC nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=2.\left(-1\right)-1\\ y_C=2.5-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-3\\ y_C=9\end{array}\right.$

⇒ C(-3; 9).

Khi đó tọa độ trọng tâm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+3+\left(-3\right)}{3}\\ y_G=\frac{1+\left(-7\right)+9}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1}{3}\\ y_G=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};1\right)$.

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-3+2.2\\ y\text{'}=2+2.5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=12\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(1;12\right)$

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

+) Trọng tâm tam giác ABD là: $\left(\frac{11+4+7}{3};\frac{-2+10+6}{3}\right)=\left(\frac{22}{3};\frac{14}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ABC là: $\left(\frac{11+4+\left(-2\right)}{3};\frac{-2+10+2}{3}\right)=\left(\frac{13}{3};\frac{10}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ACD là: $\left(\frac{11+\left(-2\right)+7}{3};\frac{-2+2+6}{3}\right)=\left(\frac{16}{3};2\right)$;

+) Trọng tâm tam giác BCD là: $\left(\frac{4+\left(-2\right)+7}{3};\frac{10+2+6}{3}\right)$ = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Xét hình bình hành OAMB, có:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OCND, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành) .

Các vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}.$

Vậy tổng có 6 vectơ.

Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ nên cùng phương với mọi vectơ.

Mà có vô số vec tơ – không. Do đó B đúng.