ax² – x + a ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4.a.a\le 0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ 1-4a^2\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(a) = 1 – a², có ∆ = 0² – 4.(-4).1 = 16 > 0. Do đó f(a) có hai nghiệm phân biệt $a=\frac{1}{2}$ và $a=-\frac{1}{2}$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có 1 – 4a² ≤ 0 $\iff a\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Kết hợp với điều kiện a > 0 suy ra a ∈ $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Vậy để ax² – x + a ≥ 0,$\forall x\in ℝ$ thì a ∈$\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$  hay a ≥$\frac{1}{2}.$

x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0  có 2 nghiệm đối nhau khi

$\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-3m+4>0\\ m-1=0\end{array}\right.$.

Xét biểu thức m² – 3m + 4 = ${\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2$  + $\frac{7}{4}$ > 0 với mọi m

Vậy phương trình có 2 nghiệm đối dấu khi m = 1.

x² + x + m = 0 vô nghiệm khi ∆ < 0

Ta có ∆ = 1² – 4.1.m < 0 $\iff m>\frac{1}{4}$

Ta có: f(x) = x² + 4x + m – 5  luôn luôn dương ⇔ x² + 4x + m – 5  > 0 với mọi x ∈ ℝ

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=2^2-(m-5)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ m>9\end{array}\right.$

TH1. m = 0. Khi đó: f(x) = 1 > 0 .

TH2. m ≠ 0. Khi đó:

f(x) = mx² – 2mx + m + 1 > 0 ∀ x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-m\left(m+1\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ m>0\end{array}\right.\iff m>0$

Vậy m ≥ 0 thỏa mãn bài toán.

Xét x² + 4x + 4  = 0 x = – 2.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$.

Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$  xác định khi và chỉ khi 2x² – 5x + 2 ≥ 0

Xét 2x² – 5x + 2 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có 2x² – 5x + 2 ≥ 0 $x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup \left[2;+\infty \right)$

Ta có f(x) > 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta = {(m+1)}^2=-4.(2m+7)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =m^2-6m-27<0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 6m – 27, có ∆’ = 9 – (-27) =  36 > 0. Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là m = -3 và m = 9.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu để ∆ < 0 thì – 3 < m < 9.

Ta có f(x) > 0 vô nghiệm $\iff f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ$ .

Xét m = 3 ta có f(x) = 5x – 4 với $x>\frac{4}{5}$  thì f(x) > 0 nên m = 3 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 3 ta có f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=m-3<0\\ \Delta =m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai (biến m): m² + 20m –  44 có ∆’ = 10² – (-44) = 144 > 0. Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x = -22 và x = 2.

Ta có bảng xét dấu

Để f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ $\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -22\le m\le 2\end{array}\right.\iff -22\le m\le 2$

Ta có: a = 2 > 0. Do đó, 2x² – 4x + m + 5 > 0,  sẽ có trường hợp sau:

Trường hợp 1. ∆ < 0  (– 4)² – 4.2.(m + 5) < 0 m > – 3, khi đó

2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\in ℝ$

Do đó 2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\ge 3$

Trường hợp 2. ∆ ≥ 0, khi đó phương trình 2x² – 4x + m + 5 = 0 sẽ có hai nghiệm x₁; x₂.

Do đó, để 2x² – 4x + m + 5 > 0 ,$\forall x\ge 3$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1\le x_2<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ af\left(3\right)>0\\ \frac{S}{2}<3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ 2\left({2.3}^2-4.3+m+5\right)>0\\ 1<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ m>-11\end{array}\right.\iff – 11 < m \le – 3$

Kết hợp hai trường hợp lại ta được m > – 11 thì  thì 2x² – 4x + m + 5 > 0 với ∀ x ≥ 3.