$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ có a = 1; b = $\sqrt{6}$ mà a < b không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó A sai

$\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$ là phương trình hypebol nên B sai

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình đường elip. Do đó D sai

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ có a = 4 ; b = 1 và a > b nên $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình elip. Do vậy C đúng

Ta có: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ⇒ a = 4; b = 3

Ta có: c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Vậy hai tiêu điểm F₁ (−5; 0) và F₂ (5; 0).

Ta có : y²  = 6x ⇒ p = 3

Vậy đường chuẩn ∆ : x = $\frac{-p}{2}$ = $\frac{-3}{2}$ .

Ta có: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\iff \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ có a = 3; b = 2

Vậy tiêu cự (E) là: F₁F₂ = 2c = 2$\sqrt{a^2-b^2}$= 2$\sqrt{3^2-2^2}$= 2$\sqrt{5}$

Parabol (P) có phương trình y² = 2px (p > 0)

Với điều kiện p > 0 thì đáp án A; B; C sai và đáp án D: y² = 5x có p = $\frac{5}{2}>0$

Do đó y² = 5x là phương trình chính tắc của parabol.

Ta có: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ ⇒ a = 4

Vậy $M{F}_1+M{F}_2$ = 2a = 2.4 = 8.

Đáp án A: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ là phương trình chính tắc của elip (E). Do đó A sai.

Đáp án B: y² = 5x là phương trình chính tắc của parabol (P). Do đó B sai.

Đáp án C: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình của hypebol. Do đó C sai.

Đáp án D: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ là phương trình của hypebol.

Phương trình chính tắc của elip có dạng : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0

Vì M ∈ (E) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1$ ⇒ b² = 9

Mặt khác, N ∈ (E) nên $\frac{3^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{-12}{5}\right)}^2}{9}=1$ hay $\frac{3^2}{a^2}+\frac{16}{25}=1$

                                                           ⇔ $\frac{3^2}{a^2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ ⇒ a² = 25

Vậy phương trình elip là : $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ .

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: y² = 2px

Vì M ∈ (P) nên 4 = 2p.1 hay 4 = 2p ⇒ p = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y² = 4x.

Ta có: y² = 8x ⇒ p = 4

Do phương trinh đường chuẩn ∆ là: x = −2 hay x + 2 = 0

Vì điểm M thuộc (P) nên ta có: MF = d(M; ∆)

⇔ MF = $\frac{\left|3+2\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$ = 5.

Ta có: 4x² + 25y² =36 ⇔ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{36}{25}}=1$ ⇒ a² = 9 và b² = $\frac{36}{25}$

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-\frac{36}{25}}=\frac{3\sqrt{21}}{5}$

Độ dài tiêu cự F₁F₂ = 2c = $\frac{6\sqrt{21}}{5}$

Thay lần lượt toạ độ các điểm A; B; C; D vào phương trình hypebol ta thấy:

Điểm C thuộc hypebol vì: $\frac{5^2}{25}-\frac{0^2}{9}=1$.

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 8x

Vì A(8; 8) thuộc (P) nên ta có phương trình 8² = 2p.8 ⇔ p = 4

Vậy phương trình đường chuẩn ∆: x = $\frac{-p}{2}=-2$.

Ta có: $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ ⇒ a = $2\sqrt{2}$

⇒ MF₁ + MF₂ = $4\sqrt{2}$

Mặt khác, ta có: $\left\{\begin{array}{l}M{F}_1+M{F}_2=4\sqrt{2}\\ M{F}_1-M{F}_2=2\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}M{F}_1=1+2\sqrt{2}\\ M{F}_2=2\sqrt{2}-1\end{array}\right.$.

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y² = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y² = 16x

Gọi M(x₀; y₀). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔$\frac{\left|x_0+4\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$

⇔$\left|x_0+4\right|=5$

⇔$\left[\begin{array}{l}{x}_0+4=5\\ x_0+4=-5\end{array}\right.$

⇔$\left[\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=-9\end{array}\right.$

Với x₀ = – 9 ta có: y₀² = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x₀ = 1 ta có: y₀² = 16.1 = 16 ⇔$\left[\begin{array}{l}{y}_0=-4\\ y_0=4\end{array}\right.$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó a, b > 0

Vì (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có : c = 5 ⇒ a² + b² = c² = 25

 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm M(3 ; −4) nên ta có: $\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{4^2}{b^2}=1$ ⇔ $\frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$ (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t . Thay vào (1) ta được: $\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$ (t ≠ 25)

                                                                         ⇔ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

                                                                        ⇔ t² + 9t – 400 = 0 ⇒ $\left[\begin{array}{l}t=16\\ t=-25\end{array}\right.$

Với điều kiện t > 0 thì t = - 25 không thoả mãn

Với t = 16 thì b² = 16 và a² = 25 – 16 = 9

Vậy phương trình đường thẳng hypebol (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Ta có: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ ⇒ a² = 100 và b² = 36 . Do đó: c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-36}=8$

Khi đó, tiêu điểm F₁ (−8; 0)

⇒ Đường thẳng d // Oy và đi qua F₁ (−8; 0) là x = −8

Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ \frac{64}{100}+\frac{y^2}{36}=1\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=\pm \frac{18}{5}\end{array}\right.$

Vậy toạ độ hai điểm M và N lần lượt là: M$\left(-8;\frac{18}{5}\right)$ và N$\left(-8;-\frac{18}{5}\right)$

⇒ MN = $\sqrt{{(-8+8)}^2+{\left(\frac{18}{5}+\frac{18}{5}\right)}^2}=\frac{36}{5}$.

Ta có: 9x² + 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$.

⇒ F₁ (−$\sqrt{7}$;0); F₂ ($\sqrt{7}$; 0); F₁F₂ = 2c = 2$\sqrt{7}$; MF₁ + MF₂ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF₁F₂ ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂²  − 2MF₁. MF₂. cos$\widehat{F_{1}M{F}_2}$

⇔ 28 = MF₁² + MF₂²  − 2MF₁. MF₂. cos60º 

⇔ 28 = MF₁² + MF₂²  − MF₁. MF₂

⇔ MF₁² + MF₂²  + 2MF₁. MF₂ − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ (MF₁ +  MF₂)² − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ 64 − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ MF₁. MF₂ = 12.