Đáp án A và D sai vì 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Đáo án C sai vì P(A) = 0 ⇔ A = ∅.

A và $\overline{A}$ là hai biến cố đối nên P(A) = 1 – P($\overline{A}$). Do đó B đúng.

Ta có : Mỗi lần chọn 1 số bất kì từ 6 số đã cho, ta được một tổ hợp chập 1 của 6 nên n(Ω) = $C_6^1$ = 6

Gọi B là biến cố :”Số lấy ra là số nguyên tố”

Ta có:  B = {2} ⇒ n(B) = 1

Vậy P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{6}$.

Ta có : Mỗi lần chọn 1 học sinh ngẫu nhiên từ 38 học sinh cho ta một tổ hợp chập 1 của 38 nên n(Ω) = $C_{38}^1$= 38.

Gọi H là biến cố:”học sinh được chọn là học sinh nữ”.

⇒ n(H) = 18.

Vậy P(G) =  $\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}$ .

Ta có n(Ω) = 5! = 120

Goi R là biến cố “bạn Chi luôn ngồi chính giữa trong năm bạn”

Để bạn Chi ngồi ở giữa chỉ có 1 sự lựa chọn

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Do đó n(R) =  1.24 = 24 cách xếp.

Vậy P(R) = $\frac{n\left(R\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$.

$\overline{A}$ là biến cố đối của biến cố A nên $\overline{A}$ là: “Trong 2 quyển sách được chọn không có sách Toán hoặc Tiếng Anh”.

Khi đó P( $\overline{A}$ ) = 1 – P(A) = 1 –  $\frac{1}{3}$= $\frac{2}{3}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Dựa vào sơ đồ cây ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố H là: {XĐT; XTĐ; ĐTT}.

Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố H.

Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ có 3 phương án thực hiện như sau:

+ Phương án 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng có: $C_5^3.C_4^3.C_3^1$  = 120 cách

+ Phương án 2: Chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ có:  $C_5^4.C_4^3$= 20 cách

+ Phương án 3: Chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ có: $C_5^3.C_4^4$  = 10 cách

Vậy n(A) = 120 + 20 + 10 = 150.

Ta có : Mỗi lần chọn 5 bạn ngẫu nhiên từ 15 bạn cho ta một tổ hợp chập 5 của 15 nên n(Ω) = $C_{15}^5$= 3003.

Gọi D là biến cố :” 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”

- Trường hợp 1 : Chọn 4 nam , 1 nữ: có $C_8^4.C_7^1$ = 490;

- Trường hợp 2 : Chọn 3 nam , 2 nữ: có $C_8^3.C_7^2$ . = 1176.

Áp dụng quy tắc cộng ta có : n(D) = 490 + 1176 = 1666.

Vậy P(D) = $\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1666}{3003}=\frac{238}{429}$.

Ta có : Mỗi lần chọn 4 viên bi bất kì từ 24 viên bi cho ta một tổ hợp chập 4 của 24 nên n(Ω) = $C_{24}^4$ .

Gọi  là biến cố: “ 4 viên bi lấy ra không có viên bi đỏ nào được chọn”

⇒Mỗi lần chọn 4 viên bi bất kì từ 18 viên bi xanh và trắng cho ta một tổ hợp chập 4 của 18 nên n( $\overline{A}$) = $C_{18}^4$ .

Vậy n(A) = n(Ω) − n( $\overline{A}$) = $C_{24}^4$ − $C_{18}^4$ = 10626 – 3060 = 7566.

Ta có : Mỗi lần chọn 7 bông hoa ngẫu nhiên từ 21 bông hoa cho ta một tổ hợp chập 7 của 21 nên n(Ω) = $C_{21}^7$= 116280.

Gọi F là biến cố:”7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng hoa ly”.

- Trường hợp 1: Chọn 1 hoa hồng , 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có $C_8^1.C_7^1.C_6^5$  = 336 cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 hoa hồng , 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có $C_8^2.C_7^2.C_6^3$  = 11760 cách.

- Trường hợp 3: Chọn 3 hoa hồng , 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có $C_8^3.C_7^3.C_6^1$  = 11760 cách.

⇒ n(F) = 336 + 11760 +11760 = 23856.

Vậy P(F) =$\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{23856}{116280}=\frac{994}{4845}$.

Ta có : n(Ω) = $C_{10}^5$ = 252

Gọi F là biến cố “ có đúng 2 người trong ban đại diện có tên bắt đầu bằng chữ M”

Việc chọn một ban đại diện gồm 5 người được thành lập từ 10 người mà có đúng 2 người có tên bắt đầu bằng chữ M là một công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 2 người có tên bắt đầu chữ M là: Mai; Mộc; Miên; Mơ có $C_4^2=6$ cách.

+ Công đoạn 2: Chọn 3 người còn trong 6 người còn lại: $C_6^3=20$ .

Do đó n(F) = 6 . 20 =120.

Vậy P(F) = $\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$  .

Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên sẽ có 3.10 = 30 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động.

Cứ mỗi 2 bạn sẽ thực hiện bắt tay với nhau: có $C_{30}^2$ lần bắt tay (bao gồm cả các bạn cùng lớp bắt tay nhau).

Mặt khác cứ mỗi 2 bạn cùng 1 lớp bắt tay nhau ta có : $C_3^2$ lần bắt tay.

Do đó số lần bắt tay của các học sinh cùng lớp của cả khối là: 10. $C_3^2$.

Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau theo yêu cầu là:

n(Ω) =  $C_{30}^2$ – 10.$C_3^2$ = 405.

Chọn 2 viên bi ngẫu nhiên từ 14 viên bi cho ta một tổ hợp chập 2 của 14 nên n(Ω) = $C_{14}^2$ = 91.

Gọi A là biến cố: “ Hai viên bi được chọn khác màu”.

Việc chọn 2 viên bi từ hộp sao cho hai viên bi được chọn khác màu có thể xem là 1 công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 1 viên bi màu đỏ có 5 cách;

+ Công đoạn 2: Chọn 1 viên bi màu xanh có 9 cách.

⇒n(A) = 5.9 = 45.

P(A) =  $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{45}{91}$.

Ta có : Mỗi lần chọn 4 viên bi ngẫu nhiên từ 12 viên bi cho ta một tổ hợp chập 4 của 12 nên n(Ω) =  $C_{12}^4$= 495

Gọi D là biến cố: “4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh”

- Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh có $C_5^1.C_4^3$ = 20 cách;

- Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh có $C_5^2.C_4^2$ = 60 cách;

- Trường hợp 3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh có $C_5^3.C_4^1$ = 40 cách;

- Trường hợp 4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh có = 120 cách.

⇒n(D) = 20 + 60 + 40 + 120 = 240.

Vậy P(D) = $\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{240}{495}=\frac{16}{33}$ .

Ta có : n(Ω) = $A_7^4$ = 840

Gọi E là biến cố: “ Số được chọn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”

Việc số được chọn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ là một công việc gồm 3 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 2 chữ số chẵn từ các chữ số 2; 4; 6; 8 có $C_4^2$ = 6 cách;

+ Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số lẻ từ các chữ số 3; 5; 7 có $C_3^2$ = 3 cách;

+ Công đoạn 3: Từ 4 chữ số được chọn ta lập số có 4 chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 , do đó ta có 4! = 24 cách.

⇒ n(E) = 24.6.3 = 432.

⇒P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{432}{840}=\frac{18}{35}$.

Gọi số Đoàn viên trong Chi đoàn là n (n ∈ℕ^*, n ≥ 7)

⇒ Số Đoàn viên nam trong Chi Đoàn là n – 3

Ta có mỗi lần chọn 4 Đoàn viên ngẫu nhiên từ n Đoàn viên cho ta một tổ hợp chập 4 của n nên n(Ω) = $C_n^4$.

* Để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ có thể xem là một công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 3 nữ có 1 cách chọn;

+ Công đoạn 2: Chọn 1 nam có n – 3 cách chọn.

⇒ n(A) = 1.(n – 3) = n – 3.

⇒P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{n-3}{C_n^4}$.

* Để lập đội TNTN có 4 Đoàn viên là nam có n(B) = $C_{n-3}^4$ .

⇒P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$

Theo giả thiết ta có: P(A) = $\frac{2}{5}$ P(B)

hay $\frac{n-3}{C_n^4}=\frac{2}{5}.\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$

⇒ n – 3 = $\frac{2}{5}.C_{n-3}^4$ .

Mà $C_{n-3}^4=\frac{(n-3)!}{4!(n-7)!}=\frac{(n-7)!(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24(n-7)!}$ 

              =$\frac{(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24}$

⇒ n – 3 = $\frac{2}{5}.\frac{(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24}$

⇒ (n – 6)(n – 5)(n – 4) = 60

⇒ n³ – 15n² + 74n – 180 = 0

⇒ n = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Chi Đoàn có 9 Đoàn viên.

Ta có mỗi lần chọn 2 điểm ngẫu nhiên từ 14 điểm cho ta một tổ hợp chập 2 của 14 nên n(Ω) = $C_{14}^2$= 91.

Gọi K là biến cố:” đoạn thẳng nối hai điểm cắt  2 trục toạ độ”.

Để đoạn thẳng nối 2 điểm cắt 2 trục toạ độ có 2 trường hợp xảy ra:

- Trường hợp 1: Một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất và một điểm thuộc góc phần tư thứ ba có: $C_2^1.C_4^1$ = 2.4 = 8.

- Trường hợp 2: Một điểm thuộc góc phần tư thứ hai và một điểm thuộc góc phần tư thứ tư có: $C_3^1.C_5^1$ = 3.5 = 15.

Do đó, n(K) = 8 + 15 =23.

Vậy P(K) = $\frac{n\left(K\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{23}{91}$.

Gọi $\overline{abc}$ là số có ba chữ số cần tìm (a, b, c lấy từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9).

Vì a ≠ 0 nên a có 9 cách chọn.

b ≠ a nên b có 9 cách chọn.

c ≠ a, b nên c có 8 cách chọn.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(S) = 9.9.8 = 648.

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt lớn hơn 250”.

- Trường hợp 1: a > 2 nên a ∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Do đó a có 7 cách chọn;

Chọn b ≠ a có 9 cách chọn;

Chọn c ≠ a, b có 8 cách chọn.

Suy ra có: 7.9.8  = 504 số.

- Trường hợp 2: a = 2; b > 5:

Chọn a có 1 cách chọn

Chọn b ∈ {6; 7; 8; 9}: có 4 cách chọn.

Chọn c có 8 cách chọn.

Suy ra có: 1.4.8 = 32 số.

- Trường hợp 3: a = 2; b = 5; c ≠ 0:

Chọn a có 1 cách chọn;

Chọn b có 1 cách chọn;

Chọn c ≠ 0 và c ≠ a, b nên c có 7 cách chọn.

Suy ra có: 1.1.7  = 7 số.

Do đó, áp dụng quy tắc cộng ta có:  n(M) = 504 + 32 + 7 = 543.

Vậy P(M) = $\frac{n\left(M\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{543}{648}=\frac{181}{216}$.

Gọi n là số học sinh nam của lớp (n ∈ ℕ^*; n ≤ 28)

⇒ Số học sinh nữ là 30 – n

Ta có: Mỗi lần chọn 3 học sinh từ 30 học sinh cho ta một tổ hợp chập 3 của 30 nên n(Ω) = $C_{30}^3$= 4060

Gọi N là biến cố:” Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”

Việc chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có thể xem 1 công việc 2 công đoạn:

- Công đoạn 1: chọn 2 học sinh nam có $C_n^2$

- Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ có $C_{30-n}^1$ = 30 – n   cách

⇒ n(N) = (30 – n).$C_n^2$

⇒ P(N) = $\frac{n\left(N\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{\left(30–n\right).C_n^2}{4060}=\frac{12}{29}$ 

⇒ (30 – n). $C_n^2$ = 1680

Mà $C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n-2)!.(n-1).n}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

⇒ (30 – n). $\frac{n(n-1)}{2}$ = 1680

⇒ -n³ + 31n² - 30n + 3360 = 0

⇒  $\left[\begin{array}{l}{n}_1\approx -8,82\\ n_2\approx 23,82\\ n_3=16\end{array}\right.$

Vì n ∈ ℕ^*; n ≤ 28 nên n = 16

Vậy số học sinh nữ của lớp là : 30 – 16 = 14 (học sinh).