Ta có phương trình đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0

⇒ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$.

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(-3;5)$ nên vectơ pháp tuyến là   $\overrightarrow{n}(5;3)$ hay là k  với k ∈ ℝ.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_3}=-\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_4}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}$. Do đó $\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3}$ và $\overrightarrow{n_4}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Do đó $\overrightarrow{n_1}$ không phải vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Vậy chọn đáp án A.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-2)$

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:  $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$(1;-1)$

Đường thẳng ∆ có phương trình: 3x – 4y + 5 = 0 ⇔ 4y = 3x + 5 ⇔ y = $\frac{3}{4}$x + $\frac{5}{4}$.

Khi đó hệ số góc k của đường thẳng ∆ là: $\frac{3}{4}$. Do đó C đúng.

Cách 1: Từ phương trình tham số của đường thẳng d ta có đường thẳng d đi qua điểm M(3; 4) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;-2)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(2;1)$. Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2.(x – 3) + (y – 4) = 0 ⇔ 2x + y – 10 = 0.

Cách 2: Xét phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=4-2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=x-3\\ t=\frac{y-4}{-2}\end{array}\right.$.

$\iff x-3=\frac{y-4}{-2}\iff -2\left(x-3\right)=y-4\iff 2x+y-10=0$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x + y – 10 = 0.

+ Xét điểm $M_1(2;2)$

Với x = 2 và y = 2 ta có: 3.2 – 4.2 + 2 = 0 nên M₁ ∈ ∆.

+ Xét điểm $M_2(3;4)$

Với x = 3 và y = 4 ta có: 3.3 – 4.4 + 2 = – 5 ≠ 0 nên M₂ ∉ ∆.

+ Xét điểm $M_3(-2;-1)$

Với x = −2 và y = −1 ta có: 3.( −2) – 4.( −1) + 2 = 0  nên M₃ ∈ ∆.

+ Xét điểm $M_4\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Với x = 0 và y = $\frac{1}{2}$ta có: 3.0 – 4.$\frac{1}{2}$ + 2 = 0  nên M₄ ∈ ∆.

Vậy điểm M₂ không thuộc đường thẳng ∆

Ta có: $\overrightarrow{EF}=(-3;1)$

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng EF nên đường thẳng d nhận vectơ $\overrightarrow{EF}$ làm vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 3) nhận $\overrightarrow{EF}=(-3;1)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2-3t\\ y=3+t\end{array}\right.$.

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$. Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u}=(2;-1)$.

Chọn x = 1 ⇒ y = – 3. Ta có điểm M(1; – 3) là điểm thuộc đường thẳng ∆.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3-t\end{array}\right.$.

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC nên ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+(-5)}{2}=-2\\ y_M=\frac{(-2)+4}{2}=1\end{array}\right.$⇒ M(−2;1)

Suy ra $\overrightarrow{AM}=(0;-2)$

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến AM đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AM}$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3-2t\end{array}\right.$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;6)$

Gọi CC’ là đường cao của ∆ABC nên CC’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(1;3)$

Vậy phương trình đường thẳng CC ‘ đi qua điểm C(−3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1;3)$ là: 1(x + 3) + 3(y – 2) = 0.

⇔ x + 3y – 3 = 0.

Gọi M là trung điểm  và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB

⇒$\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+5}{2}=3\\ y_M=\frac{-4+2}{2}=-1\end{array}\right.$ ⇒M(3; −1)

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;6)$

Vì d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên d đi qua điểm M(3; −1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(2;3)$, phương trình đường thẳng d là:

2(x – 3) + 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x + 3y – 3 = 0.

Do M ∈ d nên M(t; 1 + 2t)

Theo giả thiết M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB

⇔ $\sqrt{{(t+2)}^2+{(2t-1)}^2}$  = $\sqrt{{(t-4)}^2+{(2t+7)}^2}$

⇔  ${(t+2)}^2+{(2t-1)}^2$ = ${(t-4)}^2+{(2t+7)}^2$

⇔ t² + 4t + 4 + 4t² – 4t + 1 = t² – 8t + 16 + 4t² + 28t + 49

⇔ 5t +15 = 0

⇔ t = −3

Với t = −3 thì M(−3; −5)

Ta có:  $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ = 2(1; 1)

Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{u}=(1;1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}(1;1)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=t\end{array}\right.$.

Vì điểm D thuộc đường thẳng AB nên toạ độ điểm M có dạng D(−1 + t; t).

Ta có: CD = $\sqrt{{(t-4)}^2+{(t-3)}^2}$ = 5

       ⇔  ${(t-4)}^2+{(t-3)}^2$ = 25

      ⇔ 2t² – 14t = 0

      ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=0\\ t=7\end{array}\right.$.

Với 2 giá trị của t tương ứng có 2 toạ độ của điểm D thoả mãn là: D₁(− 1; 0) , D₂(6; 7).        

Gọi I là trung điểm của AC nên I(3; 3)

Theo tính chất của hình vuông ta có: AC ∩ BD = I

⇒ Điểm I(3; 3) thuộc BD

Ta có: $\overrightarrow{AC}=(2;4)$

Mặt khác ta có: AC vuông góc với BD ( Vì ABCD là hình vuông) nên đường chéo BD nhận $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ pháp tuyến,

Vậy phương trình đường chéo BD đi qua điểm I(3; 3) và có $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=(1;2)$làm vectơ pháp tuyến là: 1(x – 3) + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 9 = 0.

Vì B(x₁; y₁) ∈ d₁ ⇒ B(– 5 – y₁; y₁)

Tương tự ta có: C( 7 – 2y₂; y₂)

Vì tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=3x_G\\ y_A+y_B+y_C=3y_G\end{array}\right.$ 

⇒$\left\{\begin{array}{l}2+(-5-y_1)+(7-2y_2)=6\\ 3+y_1+y_2=0\end{array}\right.$

⇔  $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+2y_2=-2\\ y_1+y_2=-3\end{array}\right.$

⇒  $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=-4\\ y_2=1\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=5\end{array}\right.$

Vậy T = (− 1).5 + (−4).1= −9.

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) = 2(1; 1).

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(1; 2) nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến (vì AB ⊥ BC) là: x – 1 + y – 2 = 0 ⇔ x + y – 3 = 0.

Vì C thuộc đường thẳng BC nên C(t ; 3 – t) (t > 0).

Khi đó = (t – 1; 1 – t) ⇒ BC = $\sqrt{{\left(t-1\right)}^2+{\left(1-t\right)}^2}$ = $\sqrt{2}\left|t-1\right|$

$\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) ⇒ AB = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Ta lại có AB = BC ⇔ $\sqrt{2}\left|t-1\right|=2\sqrt{2}$

⇔ |t – 1| = 2

⇔ t – 1 = 2 hoặc t – 1 = – 2

⇔ t = 3 (thỏa mãn) hoặc t = – 1 (loại)

Vậy tọa độ điểm C là (3; 0).