Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Đồ thị ta có hàm số đi lên trên khoảng (– ∞; 1) và đi xuống trên khoảng (1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

Vậy đáp án đúng là C.

Tọa độ đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$

Ta có $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2.1}=-4$ ;$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{8^2-\mathrm{4.1.12}}{4.1}=-4$

Vậy tọa độ đỉnh I(– 4; – 4)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm A(0; – 1) vậy giao điểm có tung độ âm nên loại đáp án A.

Trục đối xứng của đồ thị hàm số$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2.(-9)}=\frac{1}{3}$vậy trục đối xứng nằm về phần dương của trục Ox nên loại đáp án C và D.

Vậy đáp án đúng là B.

Xét f(x) = x² – 1 có ∆ =  – 4.(–1) = 4 > 0, a = 1 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1 và x₂ = 1.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có f(x) >  0 khi x ∈ (– ∞; –1)  (1; + ∞) ; f(x) < 0 khi x ∈ (– 1; 1)

Vậy khẳng định sai là D

Xét f(x) = x² – 2x – 3 có ∆’ = (–1)² – 1(–3) = 4 > 0 và a = 1 > 0 nên hàm số có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1 và x₂ = 3.

Khi đó, ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) > 0 với x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞); f(x) < 0 khi x ∈ (– 1; 3)

Vậy f(x) nhận giá trị dương khi x ∈ (– ∞; – 1)  (3; + ∞) .

Vì parabol đi qua A(1; 4) ta có 4 = a + b + 1

Parabol qua B(– 1; 2) ta có 2 = a – b + 1

Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ a-b=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$

Vậy parabol cần tìm là: y = 2x² + x + 1.

Điều kiện của phương trình 2x – 3 ≥ 0 $\iff x\ge \frac{3}{2}$

Ta có $\sqrt{2x-3}=x-3\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ 2x-3 ={(x-3)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x^2-8x+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=6\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=6$

Điều kiện của phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-3x\ge 0\\ 2x-4\ge 0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\le 0\\ x\ge 3\end{array}\right.\\ x\ge 2\end{array}\right.\iff x\ge 3$

Xét phương trình: $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{2x-4}$

$\iff x^2-3x=2x-4$

$\iff x^2-5x+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta thấy x = 1 (không thỏa mãn điều kiện), x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 4.

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x-6\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\ne 6\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số là D = [2; 6) ∪ (6; + ∞).

Dựa vào đồ thị ta có trục đối xứng x = 1

Đáp án A, B đều có trục đối xứng x = 1 nên A, B đều thỏa mãn

Đáp án C có trục đối xứng x = 2 nên loại đáp án C.

Đáp án D có trục đối xứng $x=\frac{1}{4}$  nên loại đáp án D.

Dựa vào đồ thị ta có tọa độ đỉnh I(1; – 3)

Đáp án A có tọa độ đỉnh I(1; – 3) đáp án A thỏa mãn.

Đáp án B có tọa độ đỉnh I(1; – 2) nên loại đáp án B. 

Trường hợp 1. m = 0. Khi đó f(x) = – 2x – 1 < 0 

Vậy m = 0 không thỏa mãn f(x) < 0 với $\forall x\in ℝ$

Trường hợp 2. m ≠ 0.

Khi đó: f(x) = mx² – 2x – 1 < 0 với $\forall x\in ℝ$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a=m<0\\ {\Delta }^{\text{'}}=1+m<0\end{array}\right.\iff m<-1$

Vậy m < – 1 thỏa mãn bài toán.

Điều kiện của phương trình: x² – 2x – 3 ≥ 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -1\end{array}\right.$

$x^2-2x+3\sqrt{x^2-2x-3}=7\iff x^2-2x-3+3\sqrt{x^2-2x-3}-4=0$

Đặt$\sqrt{x^2-2x-3}=t(t\ge 0)$  ta có phương trình t² + 3t – 4 =0$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện của t ta thấy t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 $\Rightarrow \sqrt{x^2-2x-3}=1\iff x^2-2x-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}\\ x=1-\sqrt{5}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện của x thì $x=1+\sqrt{5};x=1-\sqrt{5}$  đều thỏa mãn

Vậy tổng các nghiệm của phương trình S = 2.

Tọa độ đỉnh của hàm số là I(1; 2)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số tăng từ trái sang phải trên khoảng (– ∞; 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).

Ta có: a = 2 > 0. Do đó, 2x² – 4x + m + 5 > 0, $\forall x\ge 3$ sẽ có trường hợp sau:

Trường hợp 1. ∆ < 0  ( – 4)² – 4.2.(m + 5) < 0  m > – 3, khi đó

2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\in ℝ$

Do đó 2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\ge 3$

Trường hợp 2. ∆ ≥ 0, khi đó phương trình 2x² – 4x + m + 5 = 0 sẽ có hai nghiệm x₁; x₂.

Do đó, để 2x² – 4x + m + 5 > 0,$\forall x\ge 3$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1\le x_2<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ af\left(3\right)>0\\ \frac{S}{2}<3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ 2\left({2.3}^2-4.3+m+5\right)>0\\ 1<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ m>-11\end{array}\right.$$\iff$– 11 < m ≤ – 3

Kết hợp hai trường hợp lại ta được m > – 11 thì  thì 2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\ge 3$

Ta có: x(x + 5) ≤ 2(x² + 2) x² – 5x + 4 ≥ 0

Đặt f(x) = x² – 5x + 4 ta có f(x) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu nghiệm của bất phương trình $x\in (–\infty ;1]\cup [4;+\infty )$

Ta có điều kiện: x² – 5 ≥ 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x\le -\sqrt{5}\\ x\ge \sqrt{5}\end{array}\right.$

Vậy $\left(x^2-3x-4\right).\sqrt{x^2-5}<0$ $\iff$  x² – 3x – 4 < 0 .

Xét x² – 3x – 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có x² – 3x – 4 < 0  – 1 < x < 4

Kết hợp với điều kiện ta được: $x\in \left(\sqrt{5};4\right)$. Suy ra nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là: x = 3.

ax² – x + a ≥ 0, $\forall x\in ℝ$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4.a.a\le 0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ 1-4a^2\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(a) = 1 – a², có ∆ = 0² – 4.(-4).1 = 16 > 0. Do đó f(a) có hai nghiệm phân biệt $a=\frac{1}{2}$  và  $a=-\frac{1}{2}$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có 1 – 4a² ≤ 0 $\iff a\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Kết hợp với điều kiện a > 0 suy ra a ∈ $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Vậy để ax² – x + a ≥ 0, $\forall x\in ℝ$  thì a ∈$\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$  hay a ≥ $\frac{1}{2}$

Ta có f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ$ $\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta ={(m+1)}^2-4.(2m+7)<0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =m^2-6m-27<0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 6m – 27, có ∆’ = 9 – (-27) =  36 > 0. Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là m = -3 và m = 9.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu để ∆ < 0 thì – 3 < m < 9.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có f(x) > 0 vô nghiệm $\iff f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ$

Xét m = 3 ta có f(x) = 5x – 4 với x > $\frac{4}{5}$ thì f(x) > 0 nên m = 3 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 3 ta có $f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a=m-3<0\\ \Delta =m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai (biến m): m² + 20m –  44 có ∆’ = 10² – (-44) = 144 > 0. Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x = -22 và x = 2.

Ta có bảng xét dấu

Để $f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -22\le m\le 2\end{array}\right.\iff -22\le m\le 2$

Vậy đáp án đúng là B.

Vì bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên a > 0;

Trục đối xứng của hàm số (đường màu đỏ) nằm bên phải trục Oy nên ta có trục đối xứng nhận giá trị dương hay $\text{x}=-\frac{\text{b}}{\text{2a}}>0$  mà a > 0 nên b < 0.

Vậy a > 0 và b < 0.

Tọa độ đỉnh của hàm số là I(– 1; – 2)

Vì hệ số a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1) ta có bảng biến thiên

Giao điểm của đồ thị với trục tung tại A(0; – 1) nên đồ hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Do đó chỉ có hình C và hình D thỏa mãn.

Hàm số có trục đối xứng $x=\frac{3}{8}>0$ nên trục đối xứng nằm về phần dương của trục Ox.

Do đó hình D là hình vẽ đúng.

Hàm số $y=\sqrt{x-2}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{3}$ xác định khi $\left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x^2-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ \left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\ge 2$

Vậy tập xác định của hàm số là: D = [2; + ∞).

x² – (m – 1)x + m² – 3m + 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0

⇔ 1. (m² – 3m + 2) < 0

⇔ m² – 3m + 2 < 0

⇔ 1 < m < 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi 1 < m < 2.

Đáp án đúng là D.

Điều kiện của phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ x+1>0\\ \sqrt{x+1}+3\ne 0\end{array}\right.\iff -1<x\le 2$

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {0; 1; 2}.

Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình đã cho.

Điều kiện của phương trình: x² + 5x + 2 ≥ 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\\ x\le \frac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

$(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

$\iff x^2+5x+4-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+2}=t(t\ge 0)$

$x^2+5x+4-3\sqrt{x^2+5x+2}=6\iff t^2-3t-4=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=4\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 4 thỏa mãn

Với t = 4 ta có $\sqrt{x^2+5x+2}=4\iff x^2+5x-14=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-7\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên âm.