Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bộ 15 bài tập trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ có đáp án đầy đủ gồm các câu hỏi trắc nghiệm đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dung cao sách Kết nối tri thức giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm Toán 10 Bài 10.

318

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức

Câu 1. Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(-3; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto $\vec{v} = (2; 5) .$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 2 giờ.

A. (-1; 7);

B. (4; 10);

C. (1; 12);

D. Không xác định được vị trí của tàu.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

$\{\begin{cases} x' = - 3 + 2.2 \\ y' = 2 + 2.5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = 1 \\ y' = 12 \end{cases} \Rightarrow A' (1; 12)$

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho B(1; 2) và C(3; -1). Độ dài $\vec{B C}$ là:

A. 5;

B. 3;

C. $\sqrt{13}$ ;

D. $\sqrt{15}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\vec{B C}$ = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

$\Rightarrow |\vec{B C}| = \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{13} .$

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(3;3). Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.

A. M(1; 2);

B. M(-1; 2);

C.M(1; -2);

D. M(-1; -2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có hai vecto $\vec{O A} (2; 1), \vec{O B} (3; 3)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$ ). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{O A} = \vec{M B}$

Ta có: $\vec{O A} (2; 1), \vec{M B} (3 - x; 3 - y)$ nên

$\{\begin{cases} 2 = 3 - x \\ 1 = 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow M (1; 2) .$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2). Nhận xét nào sau đây đúng nhất về tam giác OMN.

A. Tam giác OMN là tam giác đều;

B. Tam giác OMN vuông cân tại M;

C. Tam giác OMN vuông cân tại N;

D. Tam giác OMN vuông cân tại O.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có M(1;3) $\Rightarrow \vec{O M} (1; 3) \Rightarrow O M = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} .$

Ta lại có N(4;2) $\Rightarrow \vec{O N} (4; 2) \Rightarrow O N = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} .$

$\Rightarrow \vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = (- 3; 1) \Rightarrow M N = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$

Xét tam giác OMN, có: $O M = M N = \sqrt{10}$ nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: $O N^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2} = 20,$ $O M^{2} + M N^{2} = {(\sqrt{10})}^{2} + {(\sqrt{10})}^{2} = 20$

$\Rightarrow O N^{2} = O M^{2} + M N^{2}$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Cho tọa độ các điểm A(1;3), B(2;4), G(-3;2). Tọa độ điểm C là:

A. C(0; 3);

B. C(-6; -5);

C. C(-12; -1);

D. C(0; 9).

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

15 Bài tập Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

⇒ G(-12; -1).

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\vec{b} (4; - 1)$ và các điểm M(-3x; -1), N(0; -2 + y). Tìm điều kiện của x và y để $\vec{M N} = \vec{b}$ .

A. x = 0, y = 0;

B. x = $\frac{1}{3}$ , y = $\frac{4}{3}$ ;

C. x = 0, y = $\frac{4}{3}$ ;

D. x = $\frac{4}{3}$ , y = 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\vec{M N} = (0 - (- 3 x); - 2 + y - (- 1)) = (3 x; - 1 + y)$

Để $\vec{M N} = \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 4 \\ - 1 + y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y = 0 \end{cases}$ .

Vậy x = $\frac{4}{3}$ , y = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A (k - \frac{1}{3}; 5)$ , B(-2; 12) và

C $(\frac{2}{3}; k - 2)$ . Giá trị dương của k thuộc khoảng nào dưới đây thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

A. (10; 12);

B. (-2; 0);

C. (14; 15);

D. (12; 14).

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\vec{A C} = (\frac{2}{3} - (k - \frac{1}{3}); k - 2 - 5) = (1 - k; k - 7)$ ,

$\vec{B C} = (\frac{2}{3} - (- 2); k - 2 - 12) = (\frac{8}{3}; k - 14)$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi $\vec{A C}$ và $\vec{B C}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{1 - k}{\frac{8}{3}} = \frac{k - 7}{k - 14}$

⇔ (1 – k)(k – 14) = $\frac{8}{3}$ (k – 7)

⇔ - k² + 15k – 14 = $\frac{8}{3}$ k – $\frac{56}{3}$

⇔ - 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\vec{u} (2; 3 x - 3)$ và $\vec{v} (- 1; - 2)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn $|\vec{u}| = |2 \vec{v}|$ .

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Độ dài của vectơ $|\vec{u}| = \sqrt{2^{2} + {(3 x - 3)}^{2}} = \sqrt{4 + {(3 x - 3)}^{2}}$ .

Độ dài của vectơ $|\vec{v}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

Suy ra độ dài của vectơ 2 $|\vec{v}| = 2. \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$ .

Để $|\vec{u}|$ = 2 $|\vec{v}|$ thì $\sqrt{4 + {(3 x - 3)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ $[\begin{array}{l} 3 x + 3 = 4 \\ 3 x + 3 = - 4 \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} 3 x = 1 \\ 3 x = - 7 \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = - \frac{7}{3} \end{array}$

Ta thấy các giá trị $\frac{1}{3}$ hay $- \frac{7}{3}$ đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3; -1) và N(2; -5). Điểm nào sau đây thẳng hàng với M, N?

A. P(0; 13);

B. Q(1; -8);

C. H(2; 1);

D. K(3; 1).

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\vec{M N} (- 1; - 4)$ . Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\vec{M F} (x - 3; y + 1)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\vec{M F}$ cùng phương với $\vec{M N}$ hay $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{- 4}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Câu 10. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm cách cạnh BC, CA, AB. Biết M(0; 1); N(-1; 5); P(2; -3). Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:

A. $G (\frac{1}{3}; 1)$ ;

B. G(1; 3);

C. G(2; -3);

D. G(1; 1).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

15 Bài tập Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có $\vec{M N} = \vec{P A}$ = (-1; 4)

Gọi tọa độ của điểm A là A(x_A; y_A). Khi đó $\vec{P A} (x_{A} - 2; y_{A} + 3)$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{P A}$ (tính chất đường trung bình)

Suy ra $\{\begin{cases} x_{A} - 2 = - 1 \\ y_{A} + 3 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} = 1 \\ y_{A} = 1 \end{cases}$

⇒ A(1; 1).

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt là B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C).

Vì P là trung điểm của AB nên ta có: $\{\begin{cases} x_{B} = 2.2 - 1 \\ y_{B} = 2. (- 3) - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{B} = 3 \\ y_{B} = - 7 \end{cases}$

⇒ B(3; -7).

Vì N là trung điểm của AC nên ta có: $\{\begin{cases} x_{C} = 2. (- 1) - 1 \\ y_{C} = 2.5 - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = - 3 \\ y_{C} = 9 \end{cases}$

⇒ C(-3; 9).

Khi đó tọa độ trọng tâm G là $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{1 + 3 + (- 3)}{3} \\ y_{G} = \frac{1 + (- 7) + 9}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{1}{3} \\ y_{G} = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow G (\frac{1}{3}; 1)$ .

Câu 11. Trong các vectơ sau đây, có bao nhiêu cặp vectơ cùng phương?

$\vec{x}$ (-1; 3); $\vec{y} (2; - \frac{1}{3})$ ; $\vec{z} (- \frac{2}{5}; \frac{1}{5})$ ; $\vec{w}$ (4; -2).

A. Có 1 cặp;

B. Có 3 cặp;

C. Có 4 cặp;

D. Có 0 cặp.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

+) Xét cặp vectơ $\vec{z}$ và $\vec{w}$ ta có: $\frac{- \frac{2}{5}}{4} = \frac{\frac{1}{5}}{- 2}$ . Do đó cặp vectơ $\vec{z}$ và $\vec{w}$ cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ $\vec{y}$ và $\vec{z}$ ta có: $\frac{2}{- \frac{2}{5}} \neq \frac{- \frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$ . Do đó cặp vectơ $\vec{y}$ và $\vec{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\vec{z}$ và $\vec{w}$ cùng phương nên cặp vectơ $\vec{y}$ và $\vec{w}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\vec{y}$ và $\vec{x}$ ta có: $\frac{2}{- 1} \neq \frac{- \frac{1}{3}}{3}$ . Do đó cặp vectơ $\vec{y}$ và $\vec{x}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\vec{x}$ và $\vec{z}$ ta có: $\frac{- 1}{- \frac{2}{5}} \neq \frac{3}{\frac{1}{5}}$ . Do đó cặp vectơ $\vec{x}$ và $\vec{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\vec{z}$ và $\vec{w}$ cùng phương nên cặp vectơ $\vec{x}$ và $\vec{w}$ không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\vec{u} = - 5 \vec{i} + 6 \vec{j} .$ Khi đó tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là:

A. $\vec{u}$ (5; 6);

B. $\vec{u}$ (-5; -6);

C. $\vec{u}$ (6; -5);

D. $\vec{u}$ (-5; 6).

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

\vec{u} = - 5 \vec{i} + 6 \vec{j} .

Khi đó toạ độ của

\vec{u}

là

\vec{u}

(-5; 6).

Câu 13. Cho hình vẽ sau:

15 Bài tập Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Hãy biểu thị mỗi vecto $\vec{O M}, \vec{O N}$ theo các vecto $\vec{i}, \vec{j}$ .

A. $\vec{O M} = 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$ và $\vec{O N} = - 2 \vec{i} + \frac{5}{2} \vec{j}$ ;

B. $\vec{O M} = 5 \vec{i} + 3 \vec{j}$ và $\vec{O N} = - 2 \vec{i} + \frac{5}{2} \vec{j}$ ;

C. $\vec{O M} = 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$ và $\vec{O N} = - \frac{5}{2} \vec{i} + 2 \vec{j}$ ;

D. $\vec{O M} = 3 \vec{i} - 5 \vec{j}$ và $\vec{O N} = - 2 \vec{i} - \frac{5}{2} \vec{j}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

15 Bài tập Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Xét hình bình hành OAMB, có:

$\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} = 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OCND, có:

$\vec{O N} = \vec{O C} + \vec{O D} = - 2 \vec{i} + \frac{5}{2} \vec{j}$ (quy tắc hình bình hành) .

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(11; –2), B(4; 10); C(-2; 2); D(7; 6); Hỏi G(3; 6) là trọng tâm của tam giác nào trong các tam giác sau đây?

A. Tam giác ABD

B. Tam giác ABC

C. Tam giác ACD

D. Tam giác BCD

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

+) Trọng tâm tam giác ABD là: $(\frac{11 + 4 + 7}{3}; \frac{- 2 + 10 + 6}{3}) = (\frac{22}{3}; \frac{14}{3})$ ;

+) Trọng tâm tam giác ABC là: $(\frac{11 + 4 + (- 2)}{3}; \frac{- 2 + 10 + 2}{3}) = (\frac{13}{3}; \frac{10}{3})$ ;

+) Trọng tâm tam giác ACD là: $(\frac{11 + (- 2) + 7}{3}; \frac{- 2 + 2 + 6}{3}) = (\frac{16}{3}; 2)$ ;

+) Trọng tâm tam giác BCD là: $(\frac{4 + (- 2) + 7}{3}; \frac{10 + 2 + 6}{3})$ = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2). Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD. Tổng x + y bằng

A. 10;

B. -10;

C. 3;

D. -3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:

$\{\begin{cases} 0 = \frac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \frac{3 + 4 + y}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 3 = 0 \\ y + 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 7 \end{cases}$