Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất 1 mặt 6 chấm có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: lần 1 xuất hiện mặt 6 chấm và lần 2 xuất hiện những mặt còn lại(từ 1 đến 5)

Trường hợp 2 : lần 1 xuất hiện những mặt có số chấm từ 1 đến 5 và lần 2 xuất hiện mặt 6 chấm

Trường hợp 3: 2 lần đều xuất hiện mặt 6 chấm.

Do đó, ta có: A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}

Thực hiện tung đồng xu 2 lần có các trường hợp có thể xảy ra là:

TH1: lần 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp, lần 2 xuất hiện mặt sấp

TH2: lần 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp, lần 2 xuất hiện mặt ngửa

TH3: lần 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa, lần 2 xuất hiện mặt sấp

TH4: lần 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa, lần 2 xuất hiện mặt ngửa

Vậy tập hợp Ω các kêt quả có thể xảy ra là: Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Ta có : Mỗi lần chọn 1 học sinh ngẫu nhiên từ 38 học sinh cho ta một tổ hợp chập 1 của 38 nên n(Ω) = $C_{38}^1$= 38.

Gọi H là biến cố:”học sinh được chọn là học sinh nữ”.

⇒ n(H) = 18.

Vậy P(G) =  $\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{18}{38}=\frac{9}{19}$ .

Theo định nghĩa ta có phép thử ngẫu nhiên là những phép thử mà ta không thể đoán trước kết quả của nó, mặc dù đã biết được tập hợp tất cả các kết quả của phép thử đó

Đáp án D không phải phép thử vì ta có thể biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là 1 số cụ thể là tổng số bi đỏ và xanh

Ta có n(Ω) = 5! = 120

Goi R là biến cố “bạn Chi luôn ngồi chính giữa trong năm bạn”

Để bạn Chi ngồi ở giữa chỉ có 1 sự lựa chọn

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Do đó n(R) =  1.24 = 24 cách xếp.

Vậy P(R) = $\frac{n\left(R\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$.

Ta có : Mỗi lần chọn 1 số bất kì từ 6 số đã cho, ta được một tổ hợp chập 1 của 6 nên n(Ω) = $C_6^1$ = 6

Gọi B là biến cố :”Số lấy ra là số nguyên tố”

Ta có:  B = {2} ⇒ n(B) = 1

Vậy P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{6}$.

Ta có : Mỗi lần chọn 3 quyển sách bất kì từ 9 quyển sách cho ta một tổ hợp chập 3 của 9 nên n(Ω) = $C_9^3$= 84

Gọi C là biến cố: “ 3 quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là môn toán”

Gọi $\overline{C}$ là biến cố: “ 3 quyển sách lấy ra không có quyển nào môn toán”

⇒Mỗi lần chọn 3 viên bi bất kì từ 5 quyển sách lí và hoá cho ta một tổ hợp chập 3 của 5 nên n( $\overline{C}$) =$C_5^3$ = 10 ⇒ P( $\overline{C}$) = $\frac{n\left(\overline{C}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$

Vậy P(C) = 1 - P($\overline{C}$ ) = $1-\frac{5}{42}=\frac{37}{42}$ .

Ta có : Mỗi lần chọn 4 viên bi bất kì từ 24 viên bi cho ta một tổ hợp chập 4 của 24 nên n(Ω) = $C_{24}^4$ .

Gọi  là biến cố: “ 4 viên bi lấy ra không có viên bi đỏ nào được chọn”

⇒Mỗi lần chọn 4 viên bi bất kì từ 18 viên bi xanh và trắng cho ta một tổ hợp chập 4 của 18 nên n( $\overline{A}$) = $C_{18}^4$ .

Vậy n(A) = n(Ω) − n( $\overline{A}$) = $C_{24}^4$ − $C_{18}^4$ = 10626 – 3060 = 7566.

Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ có 3 phương án thực hiện như sau:

+ Phương án 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng có: $C_5^3.C_4^3.C_3^1$  = 120 cách

+ Phương án 2: Chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ có:  $C_5^4.C_4^3$= 20 cách

+ Phương án 3: Chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ có: $C_5^3.C_4^4$  = 10 cách

Vậy n(A) = 120 + 20 + 10 = 150.

Ta có: Mỗi lần chọn 7 bông hoa ngẫu nhiên từ 21 bông hoa cho ta một tổ hợp chập 7 của 21 nên n(Ω) = $C_{21}^7$= 116280.

Gọi F là biến cố:”7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng hoa ly”.

- Trường hợp 1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có $C_8^1.C_7^1.C_6^5$  = 336 cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có $C_8^2.C_7^2.C_6^3$  = 11760 cách.

- Trường hợp 3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có $C_8^3.C_7^3.C_6^1$  = 11760 cách.

⇒ n(F) = 336 + 11760 +11760 = 23856.

Vậy P(F) =$\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{23856}{116280}=\frac{994}{4845}$.

Kí hiệu A; B; C tương ứng với là An; Bình ; Cường

Ta có: Ω = {ABC; ACB; BCA; BAC; CAB; CBA}

Do đó n(Ω) = 6

Gọi E là biến cố” Bình và Cường đứng cạnh nhau”

E = {ABC; ABC; BCA; CBA} ⇒ n(E) = 4

Vậy P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .

Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN} ⇒n (Ω) = 4.

Gọi B là biến cố kết quả của hai lần tung đồng xu là khác nhau: B = {SN; NS}.

⇒ n(B) = 2.

Vậy xác suất của biến cố B là : $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .

Ta có : n(Ω) = $C_{10}^5$ = 252

Gọi F là biến cố “ có đúng 2 người trong ban đại diện có tên bắt đầu bằng chữ M”

Việc chọn một ban đại diện gồm 5 người được thành lập từ 10 người mà có đúng 2 người có tên bắt đầu bằng chữ M là một công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 2 người có tên bắt đầu chữ M là: Mai; Mộc; Miên; Mơ có $C_4^2=6$ cách.

+ Công đoạn 2: Chọn 3 người còn trong 6 người còn lại: $C_6^3=20$ .

Do đó n(F) = 6 . 20 =120.

Vậy P(F) = $\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$  .

Ta có: Mỗi lần chọn 5 bạn ngẫu nhiên từ 15 bạn cho ta một tổ hợp chập 5 của 15 nên n(Ω) = $C_{15}^5$= 3003.

Gọi D là biến cố :” 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”

- Trường hợp 1: Chọn 4 nam, 1 nữ: có $C_8^4.C_7^1$ = 490;

- Trường hợp 2: Chọn 3 nam, 2 nữ: có $C_8^3.C_7^2$ . = 1176.

Áp dụng quy tắc cộng ta có: n(D) = 490 + 1176 = 1666.

Vậy P(D) = $\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1666}{3003}=\frac{238}{429}$

Ta có: G = {(1;6), (6; 1), (3; 4), (4; 3), (2; 5), (5; 2)}

Do đó, n(G) = 6.

Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên sẽ có 3.10 = 30 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động.

Cứ mỗi 2 bạn sẽ thực hiện bắt tay với nhau: có $C_{30}^2$ lần bắt tay (bao gồm cả các bạn cùng lớp bắt tay nhau).

Mặt khác cứ mỗi 2 bạn cùng 1 lớp bắt tay nhau ta có : $C_3^2$ lần bắt tay.

Do đó số lần bắt tay của các học sinh cùng lớp của cả khối là: 10. $C_3^2$.

Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau theo yêu cầu là:

n(Ω) =  $C_{30}^2$ – 10.$C_3^2$ = 405.

Ta có: n (Ω) = 6.6 = 36

Gọi D là biến cố” sau hai lần gieo được số chấm giống nhau”.

⇒ D = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

⇒n (D) = 6

Vậy xác suất của biến cố D là : $\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Ta có: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ n (Ω) = 6

Gọi C là biến cố số chấm xuất hiện là số chẵn: C= {2; 4; 6}

⇒n (C) = 3

Vậy xác suất của biến cố C là : $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$= 0,5.

Chọn 2 viên bi ngẫu nhiên từ 14 viên bi cho ta một tổ hợp chập 2 của 14 nên n(Ω) = $C_{14}^2$ = 91.

Gọi A là biến cố: “ Hai viên bi được chọn khác màu”.

Việc chọn 2 viên bi từ hộp sao cho hai viên bi được chọn khác màu có thể xem là 1 công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 1 viên bi màu đỏ có 5 cách;

+ Công đoạn 2: Chọn 1 viên bi màu xanh có 9 cách.

⇒n(A) = 5.9 = 45.

P(A) =  $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{45}{91}$.

Ta có: n (Ω) = 2.2.2 = 8

Mặt khác ta có: H = {SSN; SNS; NSS}⇒ n(H) = 3

Vậy xác suất của biến cố F là : $\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{8}$.

Ta có: n (Ω) = 6.6 = 36

Gọi F là biến cố ” tổng số chấm xuất hiện trên mặt của 2 con xúc xắc chia hết cho 3”.

⇒F = {(1; 2); (1; 5); (2; 1); (2; 4); (3; 3); (3; 6); (4; 2); (4; 5); (5; 1), (5; 4), (6; 3), (6; 6)}

⇒n(F) = 12

Vậy xác suất của biến cố F là : $\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$ .

Gọi số Đoàn viên trong Chi đoàn là n (n ∈ℕ^*, n ≥ 7)

⇒ Số Đoàn viên nam trong Chi Đoàn là n – 3

Ta có mỗi lần chọn 4 Đoàn viên ngẫu nhiên từ n Đoàn viên cho ta một tổ hợp chập 4 của n nên n(Ω) = $C_n^4$.

* Để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ có thể xem là một công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 3 nữ có 1 cách chọn;

+ Công đoạn 2: Chọn 1 nam có n – 3 cách chọn.

⇒ n(A) = 1.(n – 3) = n – 3.

⇒P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{n-3}{C_n^4}$.

* Để lập đội TNTN có 4 Đoàn viên là nam có n(B) = $C_{n-3}^4$ .

⇒P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$

Theo giả thiết ta có: P(A) = $\frac{2}{5}$ P(B)

hay $\frac{n-3}{C_n^4}=\frac{2}{5}.\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$

⇒ n – 3 = $\frac{2}{5}.C_{n-3}^4$ .

Mà $C_{n-3}^4=\frac{(n-3)!}{4!(n-7)!}=\frac{(n-7)!(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24(n-7)!}$

              =$\frac{(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24}$

⇒ n – 3 = $\frac{2}{5}.\frac{(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)}{24}$

⇒ (n – 6)(n – 5)(n – 4) = 60

⇒ n³ – 15n² + 74n – 180 = 0

⇒ n = 9 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Chi Đoàn có 9 Đoàn viên.

Ta có: n (Ω) = 12.4 = 48

Gọi M là biến cố “trong 2 bạn được chọn có ít nhất 1 nam”.

+) TH1: Có 1 bạn nam

Chọn 1 bạn nam của lớp 10A có 3 cách, bạn nữ còn lại chọn từ lớp 10B có 2 cách. Do đó có 3.2 = 6 cách chọn.

Chọn 1 bạn nam của lớp 10B có 2 cách, bạn nữ còn lại chọn từ lớp 10A có 4 cách. Do đó có 2.4 = 8 cách chọn.

+) TH2: Có 2 bạn nam

Chọn 1 bạn nam của lớp 10A có 3 cách và bạn nam còn lại chọn từ lớp 10B có 2 cách. Do đó có 3.2 = 6 cách chon.

Suy ra có tất cả 6 + 8 + 6 = 20 cách chọn.

⇒ P(M) = $\frac{20}{48}=\frac{5}{12}\approx 0,42$ .

Vậy giá trị gần nhất là 0,4.

Ta xếp 4 bi xanh trước:

 Có 4! = 24 cách xếp bi xanh;

Để không có hai viên bi trắng nào xếp liền kề nhau thì ta xếp 3 bi trắng vào 3 khoảng trống còn lại thì có 3! = 6 cách xếp.

Vậy có tất cả 24.6 = 144 cách xếp.