Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(2;-1)$; $\overrightarrow{n_2}(1;-3)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂  

Ta có: cos α = $\frac{\left|2.1+(-1).(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+{(-3)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

⇒ α = 45^°.

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}7x-3y+16=0\\ x+10=0\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=-18\end{array}\right.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-2;1)$

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$  là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến  là: $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là:

d(M; ∆) =  $\frac{\left|3cos\alpha +\text{ 0.}sin\alpha +3(2–sin\alpha )\right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$=$\frac{\left|0.cos\alpha +\text{ 3.}sin\alpha +3(2–sin\alpha )\right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$

=$\frac{\left|\text{ 3}sin\alpha +6–\text{ 3}sin\alpha \right|}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$

= $\frac{6}{\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}$  = 6 .

Ta có:$\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{AB}}$ (4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có:$\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{CD}}$ (1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-1}{-4}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{n_{AB}}$ và $\overrightarrow{n_{CD}}$ không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có:  $\overrightarrow{n_{AB}}.\overrightarrow{n_{CD}}$= 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}(6;-5)$

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương  $\overrightarrow{u_1}(-6;5)$

⇒ vectơ pháp tuyến của d₂ là:$\overrightarrow{n_2}(5;6)$

Ta có:  $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$= 6.5 + (−5).6 = 0 nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau

Hay hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là: 90^°.

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng m và n lần lượt là :  $\overrightarrow{n_1}(6;-8)$ và $\overrightarrow{n_2}(3;-4)$

Ta thấy $\overrightarrow{n_1}=2\overrightarrow{n_2}$  nên $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó m và n song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm A(2;0) ∈ (n)

Thay điểm A(2; 0) vào phương trình đường thẳng m ta có:6.2 – 8.0 + 3 = 15 ≠ 0

nên A ∉ (m)

Vậy m và n là hai đường thẳng song song

⇒ d(m; n) = d(A; m) = $\frac{\left|15\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}$ = $\frac{3}{2}$ .

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}x-3y+4=0\\ 2x+3y-1=0\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) =$\frac{\left|3.(-1)+1+4\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{10}}$ =$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{13}{5}$ .

Ta có: $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$

Đường cao BH vuông góc với AC nên đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$ làm vectơ chỉ phương hay nhận $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương đường thẳng AC đi qua điểm C(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$ là: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0 ⇔ x + y – 1 = 0.

Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AN nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x+y–1=0\\ 2x–y+5=0\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}\right.$  ⇒ $A\left(\frac{-4}{3};\frac{7}{3}\right)$ .

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ x+2y+1=0\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d₃ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d₃

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là: (3; 4)

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là  $\overrightarrow{u_2}(a;-2)$⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$ (2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{\left|3.2+4a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{2^2+a^2}}$ = cos 45^° =$\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔$\frac{\left|6+4a\right|}{5.\sqrt{4+a^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔$\sqrt{2}.\left|6+4a\right|=5.\sqrt{4+a^2}$

⇒ 8(3 + 2a)² = 25.(a² + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a²) = 25a² + 100

⇔ 32a² + 96a + 72 = 25a² + 100

⇔ 7a² + 96a – 28 = 0

⇒$\left[\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ a=-14\end{array}\right.$

Vậy với a =  $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.

Vì AC ∩ AB = A nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:  $\left\{\begin{array}{l}3x-y+4=0\\ x+2y-4=0\end{array}\right.$ ⟹ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{7}\\ y=\frac{16}{7}\end{array}\right.$ ⇒ A$\left(\frac{-4}{7};\frac{16}{7}\right)$

Tương tự ta có: B$\left(\frac{-10}{11};\frac{14}{11}\right)$ và C (−8; 6)

Ta có: S_ABC = .d(A; BC).BC

=$\frac{1}{2}.\frac{\left|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}.\sqrt{{\left(-8+\frac{10}{11}\right)}^2+{\left(6-\frac{14}{11}\right)}^2}$

=$\frac{1}{2}.\frac{26}{7\sqrt{13}}.\sqrt{{\left(\frac{-78}{11}\right)}^2+{\left(\frac{52}{11}\right)}^2}$

= $\frac{13}{7\sqrt{13}}.\frac{26\sqrt{13}}{11}$ = $\frac{338}{77}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^2+1^2}$ =$\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$  là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2)$ là và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ = 

⇒ S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC =$\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$ = 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S_ABC = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

r =$\frac{S_{ABC}}{p}$ =$\frac{1}{\left(\frac{1+2+\sqrt{5}}{2}\right)}$  = $\frac{2}{3+\sqrt{5}}$ = $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.