Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7

Bộ 15 bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7 có đáp án đầy đủ gồm các câu hỏi trắc nghiệm đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dung cao sách Kết nối tri thức giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm Toán 10 Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7.

376

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7 - Kết nối tri thức

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tam giác ABC với A(2; 3) ; B(−4; 5); C(6; −5). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Phương trình tham số của đường trung bình MN của ∆ABC có:

A. $\{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 1 + t \end{cases}$ ;

B. $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 4 - t \end{cases}$ ;

C. $\{\begin{cases} x = - 1 + 5 t \\ y = 4 + 5 t \end{cases}$ ;

D. $\{\begin{cases} x = 4 + 5 t \\ y = - 1 + 5 t \end{cases}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên M(−1; 4) và N(4; −1)

Ta có : $\vec{M N} = (5; - 5)$

Đường trung bình MN đi qua điểm M(−1; 4) và nhận vectơ $\vec{u} = \frac{1}{5} \vec{M N} = (1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình đường thẳng MN: $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 4 - t \end{cases}$ .

Câu 2. Cho đường tròn (C) : (x + 1)² + (y − $\sqrt{2}$ )² = 8. Tâm I của đường tròn là:

A. I(−1; $\sqrt{2}$ );

B. I(1; − $\sqrt{2}$ );

C. I(1; $\sqrt{2}$ );

D. . I(−1; − $\sqrt{2}$ ).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lí thuyết: Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R là:

(x − a)² + (y − b)² = R²

Vậy với phương trình (x + 1)² +(y − $\sqrt{2}$ )² = 8 có a = −1;b = $\sqrt{2}$ nên I(−1; $\sqrt{2}$ ).

Câu 3. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là x + 2y + 5 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 3 + 2 t \end{cases}$ ;

B. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 3 - t \end{cases}$ ;

C. 2x – y – 5 = 0;

D. x + 2y + 5 = 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2)$ . Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\vec{u} = (2; - 1)$ .

Chọn x = 1 ⇒ y = – 3. Ta có điểm M(1; – 3) là điểm thuộc đường thẳng ∆.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 3 - t \end{cases}$ .

Câu 4. Cho đường tròn (C): x² + y² = 9. Bán kính R của đường tròn là:

A. R = 9;

B. R = 81;

C. R = 6 ;

D. R = 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đường tròn: x² + y² = 9 có bán kính R =

\sqrt{9}

= 3.

Câu 5. Cho đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của (d)?

A. $\vec{n} = (2; 3)$ ;

B. $\vec{n} = (3; - 2)$ ;

C. $\vec{n} = (2; - 3)$ ;

D. $\vec{n} = (- 2; 3)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có phương trình đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0

⇒ Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 3)$ .

Câu 6. Vectơ chỉ phương có giá:

A. Song song hoặc vuông góc với đường thẳng;

B. Song song hoặc trùng nhau với đường thẳng;

C. Vuông góc hoặc trùng nhau với đường thẳng;

D. Cắt đường thẳng đã cho tại một điểm.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vectơ chỉ phương có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

Câu 7. Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. cosα = $\frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ ;

B. cosα = $\frac{|a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}|}{({a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}) . ({a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2})}$ ;

C. cosα = $\frac{|a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ ;

D. cosα = $\frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{1}} (a_{1}; b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}; b_{2})$

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂được xác định bởi:

cos(d₁; d₂) = $|\cos (\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}})| = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Câu 8. Cho đường thẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0. Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. k = 3;

B. k = – 4;

C. $k = \frac{3}{4}$ ;

D. $k = \frac{4}{3}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đường thẳng ∆ có phương trình: 3x – 4y + 5 = 0 ⇔ 4y = 3x + 5 ⇔ y = $\frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ .

Khi đó hệ số góc k của đường thẳng ∆ là: $k = \frac{3}{4}$ . Do đó C đúng.

Câu 9. Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi

A. a² + b² > 0;

B. a² + b²− c = 0;

C. a² + b²− c < 0;

D. a² + b²− c > 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b²− c > 0.

Câu 10. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d₁ : $\{\begin{cases} x = - 3 + 4 t \\ y = 2 - 6 t \end{cases}$ và d₂ : $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t' \\ y = 4 + 3 t' \end{cases}$

A. Trùng nhau;

B. Song song;

C. Vuông góc ;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đường thẳng d₁ có $\vec{u_{1}} (4; - 6)$ và A(−3; 2) ∈ d₁

Đường thẳng d₂ có $\vec{u_{2}} (- 2; 3)$

Ta có: $\vec{u_{1}}$ = −2. $\vec{u_{2}}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(−3; 2) vào phương trình đường thẳng d₂ ta có: $\{\begin{cases} - 3 = 1 - 2 t' \\ 2 = 4 + 3 t' \end{cases}$ ⇒ $\{\begin{cases} - 3 = 1 - 2 t' \\ 2 = 4 + 3 t' \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} t' = 2 \\ t' = \frac{- 2}{3} \end{cases}$ (không thoả mãn)

Do đó điểm A thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy d₁ song song với d₂.

II. Thông hiểu

Câu 1. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d₁: x – 3y + 4 = 0 và d₂ : 2x +3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 4 = 0 bằng

A. 2 $\sqrt{10}$ ;

B. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ ;

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ;

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: $\{\begin{cases} x - 3 y + 4 = 0 \\ 2 x + 3 y - 1 = 0 \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) = $\frac{|3. (- 1) + 1 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Câu 2. Góc tạo bởi hai đường thẳng d₁: 2x – y – 10 = 0 và d₂: x − 3y + 9 = 0

A. 30^°;

B. 45^°;

C. 60^°;

D. 135^°.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là: $\vec{n_{1}} (2; - 1)$ ; $\vec{n_{2}} (1; - 3)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

Ta có: cos α = $\frac{|2.1 + (- 1) . (- 3)|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

⇒ α = 45^°.

Câu 3. Phương trình đường tròn tâm I(– 2; 1) và tiếp xúc đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0 là:

A. (x + 1)² + (y – 2)² = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ;

B. (x – 1)² + (y + 2)² = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ;

C. (x – 1)² + (y + 2)² = $\frac{4}{5}$ ;

D. (x + 1)² + (y – 2)² = $\frac{4}{5}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Bán kính đường tròn (C) là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ nên

R = d(I; ∆) = $\frac{|- 1 - 4 - 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + (y – 2)² = $\frac{4}{5}$ .

Câu 4. Cho tam giác ABC có A(−2; 3), B(1; −2), C(−5; 4). Gọi M là trung điểm của BC. Phương trình tham số của đường trung tuyến AM của ∆ABC là:

A. $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ ;

B. $\{\begin{cases} x = - 2 - 4 t \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ ;

C. $\{\begin{cases} x = - 2 t \\ y = - 2 + 3 t \end{cases}$ ;

D. $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \end{cases}$ ⇒ $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{1 + (- 5)}{2} = - 2 \\ y_{M} = \frac{(- 2) + 4}{2} = 1 \end{cases}$ ⇒ M(−2;1)

Suy ra

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến AM đi qua điểm A và nhận vectơ $\vec{A M}$ làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ .

Câu 5. Cho tam giác ABC có A(2; -1); B(2; -2) và C(0; -1). Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC:

A. $\sqrt{5}$ ;

B. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ;

C. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ;

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\vec{B C} = (- 2; 1)$

Đường thẳng BC nhận $\vec{B C}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n} = (1; 2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2 + 2. (- 1) + 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Câu 6. Cho đường tròn (C) có đường kính AB với A(−2; 1), B(4; 1). Khi đó, phương trình đường tròn (C):

A. x² + y² + 2x + 2y + 9 = 0;

B. x² + y² + 2x + 2y – 7 = 0;

C. x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0;

D. x² + y² – 2x – 2y + 9 = 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có tâm I là trung điểm của đường kính AB nên toạ độ điểm I là: $\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 \\ y = \frac{1 + 1}{2} = 1 \end{cases}$

⇒ I(1; 1)

R = IA = $\sqrt{{(1 + 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$ = 3

Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – 1)² = 9

⇔ x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0.

Câu 7. Cho 4 điểm A(4; – 3) ; B(5; 1), C(2; 3) và D(– 2; 2). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD:

A. Trùng nhau;

B. Song song;

C. Vuông góc ;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\vec{A B} (1; 4)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\vec{A B} (1; 4)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\vec{n_{A B}}$ (4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\vec{C D} (- 4; - 1)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\vec{C D} (- 4; - 1)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\vec{n_{C D}}$ (1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1} \neq \frac{- 1}{- 4}$ nên hai vectơ $\vec{n_{A B}}$ và $\vec{n_{C D}}$ không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có: $\vec{n_{A B}} . \vec{n_{C D}}$ = 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Câu 8. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng 7x – 3y + 16 = 0 và x + 10 = 0

A. (−10; −18);

B. (10; 18);

C. (−10; 18);

D. (10; −18).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{cases} 7 x - 3 y + 16 = 0 \\ x + 10 = 0 \end{cases}$ ⇒ $\{\begin{cases} x = - 10 \\ y = - 18 \end{cases}$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Câu 9. Cho điểm A(7; 4) và đường thẳng d : 3x – 4y + 8 = 0. Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với d là:

A. $\frac{13}{5}$ ;

B. $\frac{7}{5}$ ;

C. $\frac{3}{5}$ ;

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{|3.7 - 4.4 + 8|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = \frac{13}{5}$ .

Câu 10. Cho đường tròn (C): x² + y² − (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0. Giá trị của m để đường tròn (C) đi qua điểm A(2; −3)

A. m = −11;

B. m = 11 ;

C. m = 9;

D. m = 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Để điểm A thuộc đường tròn (C) thì

2² + (−3)² – 2.(m + 2) – (− 3)(m + 4) + m + 1 = 0

⇔ 4 + 9 – 2m – 4 + 3m + 12 + m + 1 = 0

⇔ 2m + 22 = 0

⇔ m = −11.

Câu 11. Elip đi qua hai điểm M(0; 3) và N $(3; \frac{- 12}{5})$ có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

D. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình chính tắc của elip có dạng : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0

Vì M ∈ (E) nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ b² = 9

Mặt khác, N ∈ (E) nên $\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{{(\frac{- 12}{5})}^{2}}{9} = 1$ hay $\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{16}{25} = 1$

⇔ $\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ ⇒ a² = 25

Vậy phương trình elip là : $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Câu 12. Cho phương trình x² + y² – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. m ∈ (1; 2);

B. m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞);

C. m ∈ (−∞; 1] ∪ [2; +∞);

D. m ∈ [1; 2].

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình (1) có : a = m; b = 2(m – 2); c = 6 – m

Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a² + b² – c > 0

⇔ m ² + 4(m – 2)² – (6 – m) > 0

⇔ 5m ²– 15m + 10 > 0

⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞).

Câu 13. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(1; 2)

A. y² = 4x;

B. y² = −4x;

C. y² = 2x;

D. y² = −2x.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: y² = 2px

Vì M ∈ (P) nên 4 = 2p.1 hay 4 = 2p ⇒ p = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y² = 4x.

Câu 14. Giá trị m để đường thẳng ∆: (m – 1)y + mx – 2 = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² – 6x + 5 = 0

A. m = 0 hoặc m = 4;

B. m = 0 hoặc m = −4;

C. m = 1 hoặc m = 3;

D. m = 2 hoặc m = −6.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = $\sqrt{3^{2} + 0^{2} - 5}$ = 2

Để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{|3 m - 2|}{\sqrt{{(m - 1)}^{2} + m^{2}}} = 2$

⇔ $|3 m - 2| = 2 \sqrt{{(m - 1)}^{2} + m^{2}}$

⇔ $9 m^{2} - 12 m + 4 = 4 (m^{2} - 2 m + 1 + m^{2})$

⇔ $m^{2} - 4 m = 0$

⇔ $[\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 4 \end{array}$ .

Câu 15. Điểm nào sau đây thuộc hypebol (H) : $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

A. A(0; 3);

B. B(2; 1);

C. C(5; 0);

D. D(8; 4).

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Thay lần lượt toạ độ các điểm A; B; C; D vào phương trình hypebol ta thấy:

Điểm A(0; 3) không thuộc hypebol vì: $\frac{0^{2}}{25} - \frac{3^{2}}{9} = - 1 \neq 1$ ;

Điểm B(2; 1) không thuộc hypebol vì: $\frac{2^{2}}{25} - \frac{1^{2}}{9} = \frac{11}{225} \neq 1$ ;

Điểm C(5; 0) thuộc hypebol vì: $\frac{5^{2}}{25} - \frac{0^{2}}{9} = 1$ ;

Điểm D(8; 4) không thuộc hypebol vì: $\frac{8^{2}}{25} - \frac{4^{2}}{9} = \frac{176}{225} \neq 1$ .

III. Vận dụng

Câu 1. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hai điểm A(−2; 2); B(4; –6) và đường thẳng d : $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2 t \end{cases}$ . Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B

A. M(3; 7);

B. M(–3; –5);

C. M(2; 5);

D. M(–2; –3).

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do M ∈ d nên M(t; 1 + 2t)

Theo giả thiết M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB

⇔ $\sqrt{{(t + 2)}^{2} + {(2 t - 1)}^{2}} = \sqrt{{(t - 4)}^{2} + {(2 t + 7)}^{2}}$

⇔ ${(t + 2)}^{2} + {(2 t - 1)}^{2} = {(t - 4)}^{2} + {(2 t + 7)}^{2}$

⇔ t² + 4t + 4 + 4t² – 4t + 1 = t² – 8t + 16 + 4t² + 28t + 49

⇔ 5t +15 = 0

⇔ t = −3

Với t = −3 thì M(−3; −5).

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 3) và hai đường thẳng d₁: x + y + 5 = 0 và d₂: x + 2y – 7 = 0. Gọi B(x₁; y₁) ∈ d₁, C(x₂; y₂) ∈ d₂ sao cho tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm. Tính giá trị biểu thức: T = x₁x₂ + y₁y₂.

A. T = − 21;

B. T = − 9;

C. T = 9;

D. T = 12.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì B(x₁; y₁) ∈ d₁ ⇒ B(– 5 – y₁; y₁)

Tương tự ta có: C( 7 – 2y₂; y₂)

Vì tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm nên

$\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} + x_{C} = 3 x_{G} \\ y_{A} + y_{B} + y_{C} = 3 y_{G} \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} 2 + (- 5 - y_{1}) + (7 - 2 y_{2}) = 6 \\ 3 + y_{1} + y_{2} = 0 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} y_{1} + 2 y_{2} = - 2 \\ y_{1} + y_{2} = - 3 \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} y_{1} = - 4 \\ y_{2} = 1 \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 5 \end{cases}$

Vậy T = (− 1).5 + (−4).1= −9.

Câu 3. Cho elip (E) : 9x² + 16y² = 144 . Với M là điểm thuộc elip biết $\hat{F_{1} M F_{2}}$ = 60°. Tính MF₁.MF₂

A. 1;

B. 16;

C. 9;

D. 12.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 9x² + 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$ .

⇒ F₁ (− $\sqrt{7}$ ;0); F₂ ( $\sqrt{7}$ ; 0); F₁F₂= 2c = 2 $\sqrt{7}$ ; MF₁ + MF₂ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF₁F₂ ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos $\hat{F_{1} M F_{2}}$

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − 2MF₁. MF₂. cos60º

⇔ 28 = MF₁² + MF₂² − MF₁. MF₂

⇔ MF₁² + MF₂² + 2MF₁. MF₂− 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ (MF₁ + MF₂)²− 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ 64 − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ MF₁. MF₂ = 12.

Câu 4. Cho ba đường thẳng d₁: 2x + y – 1 = 0, d₂ : x + 2y + 1 = 0; d₃: mx – y – 7 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 3 đường thẳng trên đồng quy.

A. m = 1;

B. m = 7;

C. m = 6;

D. m = 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\{\begin{cases} 2 x + y - 1 = 0 \\ x + 2 y + 1 = 0 \end{cases}$ ⇒ $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ ⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d₃ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d₃

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Câu 5. Cho phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng ∆: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5

A. M (– 1; 4) hoặc M(1; – 4);

B. M (1; 2) hoặc M(1; – 2);

C. M (1; 4) hoặc M(– 1; 4);

D. M (1; 4) hoặc M(1; – 4).

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y² = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{- p}{2} = - 4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y² = 16x

Gọi M(x₀; y₀). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5