Tập xác định D = ℝ.

Với mọi x₁ ; x₂ ∈ D và x₁ < x₂. Ta có :

f(x₁) – f(x₂) = [(m + 1)x₁ + m – 2] – [(m + 1)x₂ + m – 2] = (m + 1)(x₁ – x₂)

Để hàm số đồng biến trên ℝ thì f(x₁) < f(x₂) hay f(x₁) – f(x₂) < 0

⇔ (m + 1)(x₁ – x₂) < 0

Vì x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0

⇒ m + 1 > 0   

⇔ m > – 1

Mà$\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \text{[}-3;3]\end{array}\right.$nên $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in (-1;3]\end{array}\right.$ .Do đó m = {0; 1; 2; 3}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Hàm số xác định khi 2x – 2 ≠ 0 ⟺ x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ\{1}.

TXĐ: D = ℝ.

Với mọi x₁;  x₂ ∈ ℝ và x₁ <  x₂, ta có

f(x₁) – f(x₂) = (4 – 3x₁) – (4 – 3x₂) = – 3(x₁ – x₂) > 0

Suy ra f(x₁) > f(x₂).

Do đó, hàm số nghịch biến trên ℝ.

Mà $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)\subset \mathrm{ℝ}$ nên hàm số cũng nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$

Đáp án A: M(2; 3) xét y(2) = $\frac{2-1}{2.2^2-3.2+1}=\frac{1}{3}$ ≠ 3 nên M không thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án B: N(0; – 1) xét y(0) = $\frac{0-1}{2.0^2-3.0+1}=-1$ nên N thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án C: P(12; – 12) xét y(12) =  $\frac{12-1}{2.{12}^2-3.12+1}=\frac{1}{23}$≠ – 12 nên P không thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án D: Q(-1; 0) xét y(1) = $\frac{-1-1}{2{\left(-1\right)}^2-3f-1)+1}=-\frac{1}{3}$ ≠ 0 nên Q không thuộc đồ thị hàm số.

Điều kiện xác định của biểu thức$\frac{2}{\sqrt{5}-X}$ là 5 – x > 0 x < 5.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 5).

Ta có:

f(1) = 1³ – 6.1² + 11.1 – 6 = 0. Do đó đáp án A đúng

f(2) = 2³ – 6.2² + 11.2 – 6 = 0. Do đó đáp án B đúng

f(– 2) = (– 2)³ – 6.( – 2)² + 11.( – 2) – 6 = – 60. Do đó đáp án C đúng.

f(– 4) = (– 4)³ – 6.( – 4)² + 11.( – 4) – 6 = – 210. Do đó đáp án D sai. 

Điều kiện xác định của hàm số là

$\left\{\begin{array}{l}2-3x>0\\ 2x-1\ge 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x<\frac{2}{3}\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}\right.$$\iff \frac{1}{2}\le x<\frac{2}{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là: D = $[\frac{1}{2},\frac{2}{3})$

Ta có f(x₁) – f(x₂) = (x₁² – 4x₁ + 5) – (x₂² – 4x₂ + 5)

= (x₁² – x₂²) – 4x₁ + 4x₂

= (x₁ – x₂)(x₁ + x₂) – 4(x₁ – x₂)

= (x₁ – x₂)(x₁ + x₂  –  4)

Với mọi x₁; x₂ ∈ (– ∞; 2)  và x₁ < x₂. Ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1<2\\ x_2<2\end{array}\right.$  thì x₁ + x₂ < 4 và x₁ – x₂ < 0

Suy ra f(x₁) – f(x₂) = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂ – 4) > 0 hay f(x₁) > f(x₂).

Vậy hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2).

Với mọi x₁; x₂ ∈ (2; + ∞) và x₁ < x₂. Ta có$\left\{\begin{array}{l}{x}_1>2\\ x_2>2\end{array}\right.$  thì x₁ + x₂ > 4 và x₁ – x₂ < 0

Suy ra f(x₁) – f(x₂) = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂ – 4) < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên (2; + ∞).

Ta có f(x₁) – f(x₂)$=\frac{3}{x_1}-\frac{3}{x_2}=\frac{3\left(x_2-X_1\right)}{x_1{X}_2}·$

Với mọi x₁; x₂  (0; + ∞) và x₁ < x₂. Ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1>0\\ x_2>0\end{array}\right.\Rightarrow x_1.x_2>0$ và x₂ – x₁ > 0

Suy ra f(x₁) – f(x₂)$=\frac{3}{x_1}-\frac{3}{x_2}=\frac{3\left(x_2-x_1\right)}{x_1{x}_2}>0$  hay f(x₁) > f(x₂).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên (0; + ∞).

Hàm số xác định khi x² – 3x – 4 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 4\end{array}\right.$.

Vậy tập xác định của  hàm số là D = (-∞; -1] ∪ [4; +∞).

Hàm số có tập xác định ℝ khi x² + 2x – m +1 ≠ 0 với mọi x hay x² + 2x – m +1 = 0 vô nghiệm.

Ta có ∆ = 2² – 4.1.(– m + 1) < 0$\iff$4m < 0$\iff$  m < 0.