$\sqrt{3x+13}$ = x + 3

⇒ 3x + 13 = x² + 6x + 9

⇒ x² + 3x – 4 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = -4.

Thay hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho nghiệm là x = 1.

Điều kiện của phương trình x² + 5 ≥ 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1\ge 0\\ x^2+5={\left(x^2-1\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ x^4-3x^2-4=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}{x}^2=-1\left(VL\right)\\ x^2=4\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3-x+x^2\ge 0\\ 2+x-x^2\ge 0\end{array}\right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Ta có $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 3-x+x^2=1+2+x-x^2+2\sqrt{2+x-x^2}\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 2+x-x^2+\sqrt{2+x-x^2}-2=0\left(1\right)\end{array}\right.$.

Đặt $\sqrt{2+x-x^2}$ = t(t ≥ 0)

Từ (1) ta có phương trình t² + t – 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 => x² - x - 1= 0 ⇔ x = $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\ge -\frac{13}{4}\\ x\ge -4\end{array}\right.$⇔ x ≥ 1

Ta có: $\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}$ = $\sqrt{3x+12}$

⇒ 2$\sqrt{4x^2+17x+13}$ = -2x -2

⇒ 4x² + 17x + 13 = x² + 2x + 1

⇒ 3x² + 15x + 12 = 0

⇒ x = -1 hoặc x = -4

Thay lần lượt hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -1 là thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là B

Xét phương trình $\sqrt{8-x^2}=\sqrt{x+2}$

⇒ 8 – x² = x + 2

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = -3.

Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình đã cho ta thấy x = 2 là thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

Điều kiện của phương trình: x² – 4x – 12 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge 6\\ x\le -2\end{array}\right.$

$\sqrt{x^2-4x-12}$ = x - 4 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ x^2-4x-12=x^2-8x+16\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ 4x-28=0\end{array}\right.$⇔ x = 7

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Điều kiện của phương trình: 2x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{17}}{2}\\ x\le \frac{3-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

$\sqrt{2x^2-6x-4}$ = x - 2 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ 2x^2-6x-4={\left(x-2\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x^2-2x-8=0\end{array}\right.$⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -$\frac{7}{2}$

$\sqrt{2x+7}$ = x - 4 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ 2x+7={\left(x-4\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x^2-10x+9=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=9\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 9.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 9 ∈ [7; 9].

Điều kiện của phương trình : – x² + 6x – 5 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5

Ta có: $\sqrt{-x^2+6x-5}$ = 8 - 2x

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ -x^2+6x-5={(8-2x)}^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ -5x^2+38x-69=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\frac{23}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 3.

Do đó phương trình không có nghiệm âm. Suy ra k = 0.

Điều kiện của phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ \sqrt{2-x}+3\ne 0\end{array}\right.$⇔ x ≤ 2

Đặt $\sqrt{2-x}$ = t(t ≥ 0) ta có $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}$ = 2 ⇔ t + $\frac{4}{t+3}$ = 2

⇔ t² + t - 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2-x}$ = 1 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

Điều kiện của phương trình x² – 6x + 6 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge 3+\sqrt{3}\\ x\le 3-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Đặt $\sqrt{x^2-6x+6}$ = t(t > 0)

4$\sqrt{x^2-6x+6}$ = x² - 6x + 9 ⇔ 4t = t² + 3

⇔ t² - 4t + 3 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=3\end{array}\right.$

Với t = 1 ta có phương trình $\sqrt{x^2-6x+6}$ = 1 ⇔ x² - 6x + 5 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=5\end{array}\right.$

Với t = 3 ta có phương trình $\sqrt{x^2-6x+6}$ = 3 ⇔ x² - 6x - 3 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=3+2\sqrt{3}\\ x=3-2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện cả bốn nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Điều kiện của phương trình: x² + 5x + 2 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\\ x\le \frac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

(x + 4)(x + 1) - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6 ⇔ x² + 5x + 4 - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6

Đặt $\sqrt{x^2+5x+2}$ = t(t ≥ 0)

x² + 5x + 4 - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6 ⇔ t² - 3t - 4 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=4\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 4 thỏa mãn

Với t = 4 ta có $\sqrt{x^2+5x+2}$ = 4 ⇔ x² + 5x - 14 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-7\end{array}\right.$

Vậy tích các nghiệm của phương trình là – 14.